Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A在x軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OA、OC的
（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=

5

2

．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在線段BC上是否存在一點D，使得S_△ACD：S_△ABD=2：1？若存在，求出經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式；若不存在，說明理由．
（3）如圖2，一個動點P自O(shè)C的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點（設(shè)為點E），再到達拋物線對稱軸上的某點（設(shè)為點F），最后運動到點C，求點P運動的最短路徑長．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先解方程得出AO，CO的長，進而得出A，C點的坐標，進而利用拋物線的對稱軸是直線x=

5

2

，求出解析式即可；
（2）利用S_△ACD：S_△ABD=2：1，由三角形同高得出CD：BD=2：1，進而利用相似三角形的性質(zhì)得出D點坐標，即可得出反比例函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)兩點之間線段最短和軸對稱的性質(zhì)來求解．可做C點關(guān)于直線x=

5

2

的對稱點C′，做M點關(guān)于x軸的對稱點M′，連接C′M′．那么E、F就是直線C′M′與x軸和拋物線對稱軸的交點，求出長度即可．

解答：解：（1）∵線段OA、OC的長度（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的兩個根，
∴解得：OA=1，CO=4，
∴A點坐標為：（-1，0），（0，4），
∵拋物線的對稱軸是直線x=

5

2

，
∴-

b

2a

=

5

2

，
可得：

a-b+c=0 c=4 - b 2a = 5 2

，
解得：

a=- 2 3 b= 10 3 c=4

，
∴拋物線的解析式為：y=-

2

3

x²+

10

3

x+4；

（2）存在，
理由：連接ADAC，過點D作DE⊥y軸于點E，DF⊥x軸于點F，
∵S_△ACD：S_△ABD=2：1，D在線段BC上，
∴CD：BD=2：1，
由題意可得出：ED∥BO，
∴△CED∽△COB，
∴

CD

BC

=

ED

BO

，
∴

2

3

=

ED

6

，
解得：DE=4，
同理可得出：

DF

CO

=

BD

BC

=

1

3

，
∴DF=

4

3

，
∴D點坐標為：（4，

4

3

）
設(shè)經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式為：y=

k

x

，
∵k=4×

4

3

=

16

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

16

3x

；

（3）做C點關(guān)于直線x=

5

2

的對稱點C′，做M點關(guān)于x軸的對稱點M′，連接C′M′．
則E、F分別為直線C′M′與x軸和拋物線對稱軸的交點，此時C'M'即為點P運動的最短路徑長，
則有C′（5，4），M′（0，-2）；
故點P運動的最短路徑長=C'M'=

C′C2+M′C2

=

61

．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)解析式求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用對稱求最小值問題以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用相似得出D點坐標是解題關(guān)鍵．