Question

在等邊△ABC中，點D、E分別是邊AC、AB上的點（不與A、B、C重合），點P是平面內(nèi)一動點．設(shè)∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a．
（1）若點P在邊BC上運動（不與點B和點C重合），如圖（1）所示．則∠1+∠2=

 

．（用α的代數(shù)式表示）
（2）若點P在△ABC的外部，如圖（2）所示．則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并說明理由．
（3）當(dāng)點P在邊BC的延長線上運動時，試畫出相應(yīng)圖形，并寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系式．（不需要證明）

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補角的定義得出∠1+∠2=∠C+∠α，進而得出即可；
（2）利用三角形內(nèi)角和定理以及鄰補角的性質(zhì)可得出∠α=∠1-∠2+60°；
（3）利用三角外角的性質(zhì)得出．需要分類討論，如圖所示．

解答：解：（1）如圖（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，
∴∠1+∠2=∠A+α，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∴∠1+∠2=60°+α．
故答案是：60°+α；

（2）∠α=∠1-∠2+60°．理由如下：
如圖（2），設(shè)AC與PE交于點F，．
∵∠1為△PFD的外角，
∴∠1=∠α+∠PFD．
∵∠2為△AEF的外角，
∴∠2+∠A=∠AFE
∵∠A=60°，∠AFE=∠PFD
∴∠2=60°+∠PFD        
∴∠1-∠2=∠α-60°
∴∠α=∠1-∠2+60°；

（3）如圖（3）時：∠α=∠2-∠1-60°；
如圖（4）時：∠α=∠1-∠2+60°．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)、對頂角相等的性質(zhì)，熟練利用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．