Question

【題目】如圖1，在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)．

(1)求證：；

(2)如圖2，若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：；

(3)在(2)的條件下，如圖3，若，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）6

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和已知條件即可推出結(jié)論；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和已知條件可得，進(jìn)而可得，，然后即可根據(jù)AAS證明≌，可得，進(jìn)一步即可證得結(jié)論；

（3）連接，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接，如圖4．先根據(jù)已知條件、三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)推出，進(jìn)而可得，然后即可根據(jù)SAS證明△ABE≌△ACH，進(jìn)一步即可推出，過點(diǎn)作于K，易證△AKD≌△CHD，可得，然后即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推得DF=2EF，問題即得解決．

（1）證明：如圖1，，，

，，，

，

，；

（2）證明：如圖2，，，，

，，，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴AD=CD，，

≌（AAS），，

，；

（3）解：連接，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接，如圖4．

，，

設(shè)，則，

，，

，，，

，∴△ABE≌△ACH（SAS），

，，

過點(diǎn)作于K，，

，，

∴△AKD≌△CHD（AAS），，

∵，

，

，．