Question

【題目】如圖，△ACB與△CED都是等腰直角三角形，∠BCA=∠DCE=90°，且點D在線段AB上，連接AE．

（1）求證：①△BCD≌△ACE；②∠DAE=90°；

（2）若AB=8，當點D在線段AB上什么位置時，四邊形ADCE的周長最小？請說明并求出周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②90°；（2）點D是AB中點時，四邊形ADCE的周長最小，最小值為16．

【解析】

判斷出，，，即可得出結論；
利用全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出結論；
先判斷出，進而判斷出時，CD最小，即可得出結論．

（1）證明：①∵△ACB與△CED都是等腰直角三角形，∠BCA=∠DCE=90°，

∴BC=AC，CD=CE，∠BCD=∠ACE．

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS）；

②∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠BAC=45°，

由①知，△BCD≌△ACE，

∴∠ABC=∠EAC，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°+45°=90°；

（2）∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CD=CE，

由（1）知，△BCD≌△ACE，

∴BD=AE，

∴l四邊形ADCE=AD+AE+CE+CD=AB+2CD=8+2CD，

要四邊形ADCE的周長最小，

∴CD最小，

∵點D在AB上，

∴CD⊥AB時，CD最小，

∵AC=BC，

∴AD=BD．

即：點D是AB的中點，

∵△ABC是等腰直角三角形，AB=8，

∴CD最小=4，

∴l四邊形ADCE最小=8+2CD最小=8+2×4=16，

即：點D是AB中點時，四邊形ADCE的周長最小，最小值為16．