【題目】如圖1,在RtABC中,B=90°,BC=2AB=8,點(diǎn)D,E分別是邊BCAC的中點(diǎn),連接DE. EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α.

1)問題發(fā)現(xiàn)

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),

2)拓展探究

試判斷:當(dāng)α360°時(shí),的大小有無變化?請僅就圖2的情況給出證明.

3)問題解決

當(dāng)EDC旋轉(zhuǎn)至A、DE三點(diǎn)共線時(shí),直接寫出線段BD的長.

【答案】1 2 3

【解析】

試題分析:(1當(dāng)α=0°時(shí),在RtABC中,由勾股定理,求出AC的值是多少;然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn),分別求出AE、BD的大小,即可求出的值是多少.

②α=180°時(shí),可得ABDE,然后根據(jù),求出的值是多少即可.

2)首先判斷出ECA=DCB,再根據(jù),判斷出ECA∽△DCB,即可求出的值是多少,進(jìn)而判斷出的大小沒有變化即可.

3)根據(jù)題意,分兩種情況:點(diǎn)A,D,E所在的直線和BC平行時(shí);點(diǎn)AD,E所在的直線和BC相交時(shí);然后分類討論,求出線段BD的長各是多少即可.

試題解析:(1當(dāng)α=0°時(shí),

RtABC中,B=90°,

AC=

點(diǎn)D、E分別是邊BCAC的中點(diǎn),

AE=÷2=,BD=8÷2=4

如圖1,

,

當(dāng)α=180°時(shí),

可得ABDE,

=

2)如圖2,

,

當(dāng)0°≤α360°時(shí),的大小沒有變化,

∵∠ECD=ACB,

∴∠ECA=DCB,

=

∴△ECA∽△DCB,

3如圖3,

AC=,CD=4CDAD,

AD=,

AD=BC,AB=DCB=90°,

四邊形ABCD是矩形,

BD=AC=

如圖4,連接BD,過點(diǎn)DAC的垂線交AC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)BAC的垂線交AC于點(diǎn)P,

AC=,CD=4CDAD,

AD=,

點(diǎn)DE分別是邊BC、AC的中點(diǎn),

DE=AB=×8÷2=×4=2

AE=AD-DE=8-2=6,

2),可得

,

BD=

綜上所述,BD的長為

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