Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點M（ ， ），以點M為圓心，OM長為半徑作⊙M．使⊙M與直線OM的另一交點為點B，與x軸，y軸的另一交點分別為點D，A（如圖），連接AM．點P是 上的動點．
（1）寫出∠AMB的度數(shù)；
（2）點Q在射線OP上，且OPOQ=20，過點Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點E． ①當動點P與點B重合時，求點E的坐標；
②連接QD，設(shè)點Q的縱坐標為t，△QOD的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式及S的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點M作MH⊥OD于點H，

∵點M（ ， ），

∴OH=MH= ，

∴∠MOD=45°，

∵∠AOD=90°，

∴∠AOM=45°，

∵OM=AM，

∴∠OAM=∠AOM=45°，

∴∠AMO=90°，

∴∠AMB=90°；

（2）解：①∵OH=MH= ，MH⊥OD，

∴OM= =2，OD=2OH=2 ，

∴OB=4，

∵動點P與點B重合時，OPOQ=20，

∴OQ=5，

∵∠OQE=90°，∠POE=45°，

∴OE=5 ，

∴E點坐標為（5 ，0）

②∵OD=2 ，Q的縱坐標為t，

∴S= ．

如圖2，當動點P與B點重合時，過點Q作QF⊥x軸，垂足為F點，

∵OP=4，OPOQ=20，

∴OQ=5，

∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，

∴t=QF= ，

此時S= ；

如圖3，當動點P與A點重合時，Q點在y軸上，

∴OP=2 ，

∵OPOQ=20，

∴t=OQ=5 ，

此時S= ；

∴S的取值范圍為5≤S≤10．

【解析】（1）首先過點M作MH⊥OD于點H，由點M（ ， ），可得∠MOH=45°，OH=MH= ，繼而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，繼而可求得∠AMB的度數(shù)；（2）①由OH=MH= ，MH⊥OD，即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長，又由動點P與點B重合時，OPOQ=20，可求得OQ的長，繼而求得答案；②由OD=2 ，Q的縱坐標為t，即可得S= ，然后分別從當動點P與B點重合時，過點Q作QF⊥x軸，垂足為F點，與當動點P與A點重合時，Q點在y軸上，去分析求解即可求得答案．