Question

（1）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上且CE=CA，試求∠DAE的度數(shù)；

（2）如果把第（1）題中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關系？

Answer 1

【考點】等腰三角形的性質；等腰直角三角形．

【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，可求得∠ABC與∠ACB的度數(shù)，然后由BD=BA，CE=CA，分別求得∠BAD與∠CAE的度數(shù)，繼而求得答案；

（2）首先設∠BAC=α，然后由AB=AC，用α表示出∠ABC與∠ACB的度數(shù)，繼而由BD=BA，CE=CA，分別求得∠BAD與∠CAE的度數(shù)，則可求得答案．

【解答】解：（1）∠DAE=45°．

理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵AB=BD，AC=CE，

∴∠BAD=∠BDA，∠E=∠CAE，

∴∠BAD=（180°﹣45°）=67.5°，

∴∠CAE=∠ACB=22.5°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣67.5°=22.5°，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°；

（2）∠DAE=∠BAC．

理由：設∠BAC=α，

∵AB=AC，

∴∠B=（180°﹣α），

∵BA=BD，

∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B），

∴∠CAD=α﹣（180°﹣∠B）=α﹣90°+∠B，

∵CA=CE，

∴∠CAE=∠ACB=∠B，

∴∠DAE=α﹣90°+∠B+∠B+∠B=α﹣90°+∠B，

∴∠DAE═α﹣90°+（180°﹣α）=α，

∴∠DAE=∠BAC．

【點評】此題考查了等腰三角形的性質以及三角形內角和定理．注意用設∠BAC=α，然后用α表示出各角是解此題的關鍵．