Question

如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．

（1）求證：△BCE≌△DCF；

（2）求證：AB+AD=2AE．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．

【專題】證明題．

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=CF，∠F=∠CEB=90°，即可得到結(jié)論；

（2）由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得到∠F=∠CEA=90°，推出Rt△FAC≌Rt△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AE，由△BCE≌△DCF，得到BE=DF，于是得到結(jié)論．

【解答】（1）證明：∵AC是角平分線，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

∴△BCE≌△DCF；

（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴∠F=∠CEA=90°，

在Rt△FAC和Rt△EAC中，

，

∴Rt△FAC≌Rt△EAC，

∴AF=AE，

∵△BCE≌△DCF，

∴BE=DF，

∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）

=AE+BE+AE﹣DF=2AE．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證Rt△BCE≌Rt△DCF和RT△ACF≌RT△ACE是解題的關(guān)鍵．