Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），將該長(zhǎng)方形沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，OD與BC交于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是OA上任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使得AM+MN最小？若存在，求出其最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（3，4）；（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)翻折特點(diǎn)可得∠DOB=∠AOB，由平行性質(zhì)可得∠OBC=∠DOB，故EO=EB，設(shè)OE=x，則DE=8-x，根據(jù)勾股定理得，DB2+DE2=BE2，即16+（8-x）2=x2，可進(jìn)一步求出E的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)D作OA的垂線交OB于M，交OA于N，此時(shí)的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值，結(jié)合（1），根據(jù)面積有DE×BD=BE×DG，故DG=，得GN=OC=4，可求出DN=DG+GN．

（1）∵將該長(zhǎng)方形沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，OD與BC交于點(diǎn)E．
∴∠DOB=∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠DOB，
∴EO=EB，
∵長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），
設(shè)OE=x，則DE=8-x，
在Rt△BDE中，BD=4，根據(jù)勾股定理得，DB2+DE2=BE2，
∴16+（8-x）2=x2，
∴x=5，
∴BE=5，
∴CE=3，
∴E（3，4）；
（2）如圖，

過點(diǎn)D作OA的垂線交OB于M，交OA于N，此時(shí)的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值，
由（1）得，DE=3，BE=5，BD=4，
∴根據(jù)面積有DE×BD=BE×DG，
∴DG=由題意有，GN=OC=4，
∴DN=DG+GN=

即：AM+MN的最小值是．