Question

如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓O上一點(diǎn)，直線AC與過(guò)點(diǎn)B的切線相交于點(diǎn)D，D點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，直線CE交直線AB與點(diǎn)．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）若ED=，tanF=，求⊙O的半徑．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）連CB、OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ABD=90°，根據(jù)圓周角定理由AB是直徑得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CE=BE，所以∠BCE=∠CBE，所以∴OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得CF是⊙O的切線.

（2）CE=BE=DE=，在Rt△BFE中，利用正切的定義得，可計(jì)算出BF=2，再利用勾股定理可計(jì)算出EF=，所以CF=CE+EF=4，然后在Rt△OCF中，利用正切定義可計(jì)算出OC．

試題解析：（1）如圖，連接CB、OC，

∵BD為⊙O的切線，∴DB⊥AB。∴∠ABD=90°.

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°.

∴∠BCD=90°.

∵E為BD的中點(diǎn)，∴CE=BE. ∴∠BCE=∠CBE.

而∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°.

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切線；

（2）【解析】
CE=BE=DE=，

在Rt△BFE中，，∴BF=2.

∴.∴CF=CE+EF=4.

在Rt△OCF中，，∴OC=3，即⊙O的半徑為3．

考點(diǎn)：1.切線的判定和性質(zhì)；2.勾股定理；3.圓周角定理；4.等腰三角形的性質(zhì)．