Question

如圖①，已知：在矩形ABCD的邊AD上有一點(diǎn)O，OA=

3

，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，交AD于M，恰好與BD相切于H，過(guò)H作弦HP∥AB，弦HP=3．若點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與C，D不重合），過(guò)E作直線EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿著動(dòng)直線EF對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G．設(shè)CE=x，△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S．
（1）求證：四邊形ABHP是菱形；
（2）問(wèn)△EFG的直角頂點(diǎn)G能落在⊙O上嗎？若能，求出此時(shí)x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出FG與⊙O相切時(shí)，S的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,含30度角的直角三角形,菱形的判定,矩形的性質(zhì),垂徑定理,切線的性質(zhì),切線長(zhǎng)定理,軸對(duì)稱的性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：壓軸題

分析：（1）連接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，從而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可證到四邊形ABHP是平行四邊形，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得BA=BH，即可證到四邊形ABHP是菱形．
（2）當(dāng)點(diǎn)G落到AD上時(shí)，可以證到點(diǎn)G與點(diǎn)M重合，可求出x=2．
（3）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，如圖①，S=S_△EGF，只需求出FG，就可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，如圖④，S=S_△GEF-S_△SGR，只需求出SG、RG，就可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)FG與⊙O相切時(shí)，如圖⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ-AK=2-2

3

+

3

x．再由FK=

3

KQ即可求出x，從而求出S．

解答：解：（1）證明：連接OH，如圖①所示．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．
∵HP∥AB，
∴∠ANH+∠BAD=180°．
∴∠ANH=90°．
∴HN=PN=

1

2

HP=

3

2

．
∵OH=OA=

3

，
∴sin∠HON=

HN

OH

=

3

2

．
∴∠HON=60°
∵BD與⊙O相切于點(diǎn)H，
∴OH⊥BD．
∴∠HDO=30°．
∴OD=2

3

．
∴AD=3

3

．
∴BC=3

3

．
∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．
∴tan∠BDA=

AB

AD

=

3

3

．
∴AB=3．
∵HP=3，
∴AB=HP．
∵AB∥HP，
∴四邊形ABHP是平行四邊形．
∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直徑，
∴BA與⊙O相切于點(diǎn)A．
∵BD與⊙O相切于點(diǎn)H，
∴BA=BH．
∴平行四邊形ABHP是菱形．

（2）△EFG的直角頂點(diǎn)G能落在⊙O上．
如圖②所示，點(diǎn)G落到AD上．

∵EF∥BD，
∴∠FEC=∠BDC．
∵∠BDC=90°-30°=60°，
∴∠CEF=60°．
由折疊可得：∠GEF=∠CEF=60°．
∴∠GED=60°．
∵CE=x，
∴GE=CE=x．ED=DC-CE=3-x．
∴cos∠GED=

ED

GE

=

3-x

x

=

1

2

．
∴x=2．
∴GE=2，ED=1．
∴GD=

3

．
∴OG=AD-AO-GD=3

3

-

3

-

3

=

3

．
∴OG=OM．
∴點(diǎn)G與點(diǎn)M重合．
此時(shí)△EFG的直角頂點(diǎn)G落在⊙O上，對(duì)應(yīng)的x的值為2．
∴當(dāng)△EFG的直角頂點(diǎn)G落在⊙O上時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值為2．

（3）①如圖①，
在Rt△EGF中，
tan∠FEG=

FG

GE

=

FG

x

=

3

．
∴FG=

3

x．
∴S=

1

2

GE•FG=

1

2

x•

3

x=

3

2

x²．
②如圖③，

ED=3-x，RE=2ED=6-2x，
GR=GE-ER=x-（6-2x）=3x-6．
∵tan∠SRG=

SG

RG

=

SG

3x-6

=

3

3

，
∴SG=

3

（x-2）．
∴S_△SGR=

1

2

SG•RG=

1

2

•

3

（x-2）•（3x-6）．
=

3 3

2

（x-2）²．
∵S_△GEF=

3

2

x²，
∴S=S_△GEF-S_△SGR
=

3

2

x²-

3 3

2

（x-2）²．
=-

3

x²+6

3

x-6

3

．
綜上所述：當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S=

3

2

x²；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，S=-

3

x²+6

3

x-6

3

．
當(dāng)FG與⊙O相切于點(diǎn)T時(shí)，延長(zhǎng)FG交AD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥AD，垂足為K，如圖④所示．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°
∴∠AQF=∠CFG=60°．
∵OT=

3

，
∴OQ=2．
∴AQ=

3

+2．
∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，
∴四邊形ABFK是矩形．
∴FK=AB=3，AK=BF=3

3

-

3

x．
∴KQ=AQ-AK=（

3

+2）-（3

3

-

3

x）=2-2

3

+

3

x．
在Rt△FKQ中，tan∠FQK=

FK

QK

=

3

．
∴FK=

3

QK．
∴3=

3

（2-2

3

+

3

x）．
解得：x=3-

2 3

3

．
∵0＜3-

2 3

3

≤2，
∴S=

3

2

x²=

3

2

×（3-

2 3

3

）²
=

31 3

6

-6．
∴FG與⊙O相切時(shí)，S的值為

31 3

6

-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、垂徑定理、軸對(duì)稱性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)．