Question

如圖①，已知等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設AB=3x．

（1）用x表示AD和CD；

（2）用x表示S，并求S的最大值；

（3）如圖②，當S取最大值時，等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上，點E和點F分別是AB和CD的中點，求⊙O的半徑R的值．

 

 

Answer 1

（1）AD=18-2x，CD=16+x；（2）S=-2（x-2）2+72，當x=2時，S有最大值72；（3）R=2．

【解析】

試題分析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，易得四邊形AHGB為矩形，則HG=AB=3x，再根據等腰梯形的性質得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，設DH=t，根據含30度的直角三角形三邊的關系得AD=2t，AH=t，然后根據等腰梯形ABCD的周長為48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，于是可得AD=18-2x，CD=16+x；

（2）根據梯形的面積公式計算可得到S=-2x2+8x+64，再進行配方得S=-2（x-2）2+72，然后根據二次函數的最值問題求解；

（3）連結OA、OD，如圖②，由（2）得到x=2時，則AB=6，CD=18，等腰梯形的高為6，所以AE=3，DF=9，由于點E和點F分別是AB和CD的中點，根據等腰梯形的性質得直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，所以EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，根據垂徑定理的推論得等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，設OE=a，則OF=6-a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a2+32=R2，在Rt△ODF中，利用勾股定理得（6-a）2+92=R2，然后消去R得到a的方程a2+32=（6-a）2+92，解得a=5，最后利用R2=（5）2+32求解．

試題解析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，

則四邊形AHGB為矩形，

∴HG=AB=3x，

∵四邊形ABCD為等腰梯形，

∴AD=BC，DH=CG，

在Rt△ADH中，設DH=t，

∵∠ADC=60°，

∴∠DAH=30°，

∴AD=2t，AH=t，

∴BC=2t，CG=t，

∵等腰梯形ABCD的周長為48，

∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，

∴AD=2（8-x）=18-2x，

CD=8-x+3x+8-x=16+x；

（2）S=（AB+CD）•AH

=（3x+16+x）•（8-x）

=-2x2+8x+64，

∵S=-2（x-2）2+72，

∴當x=2時，S有最大值72；

（3）連結OA、OD，如圖②，

當x=2時，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高為×（8-2）=6，

則AE=3，DF=9，

∵點E和點F分別是AB和CD的中點，

∴直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，

∴EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，

∴等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，

設OE=a，則OF=6-a，

在Rt△AOE中，

∵OE2+AE2=OA2，

∴a2+32=R2，

在Rt△ODF中，

∵OF2+DF2=OD2，

∴（6-a）2+92=R2，

∴a2+32=（6-a）2+92，解得a=5，

∴R2=（5）2+32=84，

∴R=2．

【考點】圓的綜合題．