【題目】如圖,已知拋物線過(guò)點(diǎn)A(3,0),B(﹣1,0),C(0,3),連接AC,點(diǎn)M是拋物線AC段上的一點(diǎn),且CM∥x軸.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求∠CAM的正切值;
(3)點(diǎn)Q在拋物線上,且∠BAQ=∠CAM,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)tan∠CAM=;(3)Q的坐標(biāo)為(﹣,)或(﹣,﹣).
【解析】
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣3)(x+1),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入的a即可求得拋物線的解析式.
作MD⊥AC于D,證明是等腰直角三角形又CM∥x軸,所以∠ACM=45°,是等腰直角三角形求得DM,再根據(jù)勾股定理求得AD,即可求得結(jié)果.
設(shè)點(diǎn)Q(x,﹣x2+2x+3),根據(jù)∠BAQ=∠CAM且tan∠CAM=列出解出x的兩個(gè)解,代入Q(x,﹣x2+2x+3)即可求解.
(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣3)(x+1),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得:﹣3a=3,解得:a=﹣1,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.
(2)作MD⊥AC于D,是
∵CM∥AB,由拋物線y=﹣x2+2x+3可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3),
∵C(0,3),A(3,0)
∴AO=OC=3,
∵∠MDC=90°
∴∠OAC=∠ACO=45°,
∴∠ACM=45°,
∴CD=DM,
∵CM=2,
∴DM=CM=,
∴CD=,
∵AC2=OA2+OC2
∴AC=3.
∴AD=AC﹣CD=2,
∴tan∠CAM===;
③設(shè)點(diǎn)Q(x,﹣x2+2x+3).
∵∠BAQ=∠CAM且tan∠CAM=,
∴=±,整理得:x+1=±,解得:x=﹣或x=﹣.
當(dāng)x=﹣時(shí),y=,
∴Q(﹣,).
當(dāng)x=﹣時(shí),y=﹣.
∴Q(﹣,﹣).
綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣,)或(﹣,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng);同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.
(1)當(dāng)CQ=10時(shí),求的值.
(2)當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC;
(3)是否存在某一時(shí)刻,使△APQ∽△CQB?若存在,求出此時(shí)AP的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,,,兩內(nèi)角平分線和相交于點(diǎn).
(1)若,求的度數(shù);
(2)若直線過(guò)點(diǎn),與、分別相交于點(diǎn)、,且,求的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是等邊三角形的邊,上的點(diǎn),且,交于點(diǎn),于點(diǎn),已知,,則等于( )
A.10B.12C.14D.16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂線MD交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)M.下列結(jié)論:①BD是∠ABC的平分線;②△BCD是等腰三角形;③DC+BC=AB,正確的有( )
A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0 個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2016廣西賀州市)如圖,將線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B′,那么A(﹣2,5)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是( 。
A. (2,5) B. (5,2) C. (2,﹣5) D. (5,﹣2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接OB、OC,線段AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、F、G.
(1)判斷四邊形DEFG的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)若M為EF的中點(diǎn),OM=2,∠OBC和∠OCB互余,求線段BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知AB為⊙O的直徑,P為AB延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線,切點(diǎn)為C,∠APC的平分線PD與AC交于點(diǎn)D.
(1)如圖1,若∠CPA恰好等于30°,求∠CDP的度數(shù);
(2)如圖2,若點(diǎn)P位于(1)中不同的位置,(1)的結(jié)論是否仍然成立?說(shuō)明你的理由.
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