【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1,0),C(2,3)兩點,與y軸交于點N.其頂點為D.
(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點M(3,m),求使MN+MD的值最小時m的值;
(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B,E為直線AC上的任意一點,過點E作EF∥BD交拋物線于點F,以B,D,E,F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能,求點E的坐標(biāo);若不能,請說明理由;
(4)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點,求△APC的面積的最大值.
【答案】(1)拋物線為y=﹣x2+2x+3,直線AC為y=x+1;(2)m=;(3)滿足條件的點E的坐標(biāo)為(0,1)、(,)或(,);(4)△APC的面積的最大值為.
【解析】
試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)兩點之間線段最短作N點關(guān)于直線x=3的對稱點N′,當(dāng)M(3,m)在直線DN′上時,MN+MD的值最。
(3)需要分類討論:①當(dāng)點E在線段AC上時,點F在點E上方,則F(x,x+3)和②當(dāng)點E在線段AC(或CA)延長線上時,點F在點E下方,則F(x,x﹣1),然后利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可以求得點E的坐標(biāo);
(4)方法一:過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q;過點C作CG⊥x軸于點G,如圖1.設(shè)Q(x,x+1),則P(x,﹣x2+2x+3).根據(jù)兩點間的距離公式可以求得線段PQ=﹣x2+x+2;最后由圖示以及三角形的面積公式知S△APC=﹣(x﹣)2+,所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值;
方法二:過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q,交x軸于點H;過點C作CG⊥x軸于點G,如圖2.設(shè)Q(x,x+1),則P(x,﹣x2+2x+3).根據(jù)圖示以及三角形的面積公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣(x﹣)2+,所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值;
解:(1)由拋物線y=﹣x2+bx+c過點A(﹣1,0)及C(2,3)得,
,
解得,
故拋物線為y=﹣x2+2x+3
又設(shè)直線為y=kx+n過點A(﹣1,0)及C(2,3)得
,
解得
故直線AC為y=x+1;
(2)如圖1,作N點關(guān)于直線x=3的對稱點N′,則N′(6,3),由(1)得D(1,4),
故直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+,
當(dāng)M(3,m)在直線DN′上時,MN+MD的值最小,
則m=﹣×=;
(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),
∵點E在直線AC上,
設(shè)E(x,x+1),
①如圖2,當(dāng)點E在線段AC上時,點F在點E上方,
則F(x,x+3),
∵F在拋物線上,
∴x+3=﹣x2+2x+3,
解得,x=0或x=1(舍去)
∴E(0,1);
②當(dāng)點E在線段AC(或CA)延長線上時,點F在點E下方,
則F(x,x﹣1)
由F在拋物線上
∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=或x=
∴E(,)或(,)
綜上,滿足條件的點E的坐標(biāo)為(0,1)、(,)或(,);
(4)方法一:如圖3,過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q,交x軸于點H;過點C作CG⊥x軸于點G,設(shè)Q(x,x+1),則P(x,﹣x2+2x+3)
∴PQ=(﹣x2+2x+3)﹣(x+1)
=﹣x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
=PQAG
=(﹣x2+x+2)×3
=﹣(x﹣)2+
∴面積的最大值為.
方法二:過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q,交x軸于點H;過點C作CG⊥x軸于點G,如圖3,
設(shè)Q(x,x+1),則P(x,﹣x2+2x+3)
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC
=(x+1)(﹣x2+2x+3)+(﹣x2+2x+3+3)(2﹣x)﹣×3×3
=﹣x2+x+3
=﹣(x﹣)2+
∴△APC的面積的最大值為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點O是等邊△ABC內(nèi)一點,D是△ABC外的一點,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,連接OD.
(1)求證:△OCD是等邊三角形;
(2)當(dāng)α=150°時,試判斷△AOD的形狀,并說明理由;
(3)△AOD能否為等邊三角形?為什么?
(4)探究:當(dāng)α為多少度時,△AOD是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點P是△ABC內(nèi)一點,且P到△ABC的三邊距離相等,則P是△ABC哪三條線的交點( 。
A. 邊的垂直平分線B. 角平分線
C. 高線D. 中位線
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:ABCD的兩邊AB,AD的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數(shù)根.
(1)當(dāng)m為何值時,四邊形ABCD是菱形?求出這時菱形的邊長;
(2)若AB的長為2,那么ABCD的周長是多少?
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