Question

已知矩形ABCD，M是AD邊上一點(diǎn)．

（1）如圖1，AM=MD，BM交AC于F點(diǎn)，BM的延長線與CD的延長線交于點(diǎn)E，連AE，求證：

MF

BF

=

EM

EB

；
（2）如圖2，AM=MD，過點(diǎn)D任意作直線與BM，BC的延長線分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)P，連AE，求證：∠EAD=∠PAD；
（3）如圖3，E是CD延長線上一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，AP交CD與Q點(diǎn)，BE交AD于M點(diǎn)，延長AD交EP于N點(diǎn)，若M是AN的中點(diǎn)，且AB=3，BC=4，求△AEP的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,等腰三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形得AD∥BC，從而得到△AFM∽△CFB，△EDM∽△ECB，進(jìn)而得到

MF

BF

=

AM

BC

，

EM

EB

=

MD

BC

，由AM=MD就可得到結(jié)論．
（2）延長EA、PB交于點(diǎn)R，如圖2，由三角形相似可證到

AM

BR

=

EM

EB

=

DM

BP

，再由AM=MD可得BR=BP，再由垂直平分線的性質(zhì)可得到AR=AP，結(jié)合AD∥BC就可得∠EAD=∠PAD．
（3）延長EA、PB交于點(diǎn)R，如圖3，由（2）得∠EAD=∠PAD，進(jìn)而證到ED=QD，再由∠EAD=∠APB可證到△ADE∽△PBA，進(jìn)而得到DE•PB=12．根據(jù)S_△AEP=S_△AEQ+S_△PEQ就可求出△AEP的面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴△AFM∽△CFB，△EDM∽△ECB．
∴

MF

BF

=

AM

BC

，

EM

EB

=

MD

BC

．
∵AM=MD，
∴

MF

BF

=

EM

EB

．

（2）證明：延長EA、PB交于點(diǎn)R，如圖2，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴△EAM∽△ERB，△EDM∽△EPB．
∴

AM

BR

=

EM

EB

，

EM

EB

=

DM

BP

．
∴

AM

BR

=

DM

BP

．
∵AM=MD，
∴BR=BP．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC．
∴AR=AP．
∴∠R=∠APR．
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠R，∠PAD=∠APR．
∴∠EAD=∠PAD．

（3）解：延長EA、PB交于點(diǎn)R，如圖3，
同理可得：∠EAD=∠PAD=∠APB．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AD=BC．
∴∠ADE=90°．
∴∠AED=∠AQD．
∴AE=AQ．
∴DE=DQ．
∵∠ADE=∠ABP，∠EAD=∠APB，
∴△ADE∽△PBA．
∴

AD

PB

=

DE

AB

．
∵AB=3，AD=BC=4，
∴

4

PB

=

DE

3

．
∴DE•PB=12．
∴S_△AEP=S_△AEQ+S_△PEQ
=

1

2

EQ•AD+

1

2

EQ•CP
=

1

2

EQ（AD+CP）
=

1

2

EQ（BC+CP）
=

1

2

EQ•BP
=

1

2

×2ED•BP
=12．
∴△AEP的面積為12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余等知識(shí)．本題在解決問題的過程中，用已有的經(jīng)驗(yàn)得到角相等，用割補(bǔ)法和整體思想求出三角形的面積，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．而由平行線（矩形的性質(zhì)）、角平分線（結(jié)論）聯(lián)想到構(gòu)造等腰三角形是解決第二小題的關(guān)鍵．