【題目】在一張長方形紙片ABCD中,AB=25cm,AD=20cm,現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊,請解決下列問題.

(1)如圖(1),折痕為DE,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F在CD上,求折痕DE的長;

(2)如圖(2),H,G分別為BC,AD的中點(diǎn),A的對應(yīng)點(diǎn)F在HG上,折痕為DE,求重疊部分的面積;

(3)如圖(3),在圖(2)中,把長方形ABCD沿著HG對開,變成兩張長方形紙片,按圖示方式將兩張紙片任意疊合后,判斷重疊四邊形的形狀,并證明;

(4)在(3)中,重疊四邊形的周長是否存在最大值或最小值?如果存在,試求出來;如果不存在,試簡要說明理由.

【答案】(1)20cm;(2);(3)重疊四邊形MNPQ的形狀是菱形,證明見解析;(4)菱形的最大周長為58cm.

【解析】

(1)根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知AD=AE=20cm,再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論;
(2)由折疊的性質(zhì)可得到DG=AD=DE,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠EDA=30°,由銳角三角函數(shù)的定義得到AE的長,利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論;
(3)根據(jù)平行四邊形的判定首先證得四邊形MNPQ是平行四邊形,因?yàn)閮蓷l矩形的寬度相等,然后根據(jù)平行四邊形MNPQ的面積公式即可證得四邊形的鄰邊相等,進(jìn)而證得四邊形是菱形;
(4)當(dāng)矩形紙片互相垂直時(shí),這個(gè)菱形的周長最短,最小值是40cm,如圖2所示放置時(shí),重疊部分的菱形面積最大,設(shè)GK=x,則HK=25-x,利用勾股定理即可求出x的值,進(jìn)而可得出菱形的周長.

(1)∵四邊形ADFE是正方形,

DE===20(cm)

(2)∵由折疊可知DG=AD=DF,

∴在RtDGF中,∠GFD=30°,GDF=60°,

∵∠GDE=EDF,

∴∠EDA=30°.

∴在RtADE中,AE=AD

∴由勾股定理得AE==

SDEF=AEAD=×20×=

(3)重疊四邊形MNPQ的形狀是菱形;如圖1,

證明:因紙片都是矩形,則重疊四邊形的對邊互相平行,則四邊形MNPQ是平行四邊形.

如圖1,過QQLNP于點(diǎn)L,QKNM于點(diǎn)K,

又∵QL=QK,

SMNPQ=PNQL=MNQK.

MN=NP,

∴四邊形MNPQ的形狀是菱形.

(4)當(dāng)矩形紙片互相垂直時(shí),這個(gè)菱形的周長最短是40cm.最大的菱形如圖2所示放置時(shí),重疊部分的菱形面積最大.

設(shè)GK=x,則HK=25﹣x.

RtKHB中,x2=(25﹣x)2+102

解得x=14.5.

則菱形的最大周長為58 cm.

練習(xí)冊系列答案
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