Question

【題目】在一張長方形紙片ABCD中，AB=25cm，AD=20cm，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊，請解決下列問題．

（1）如圖（1），折痕為DE，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F在CD上，求折痕DE的長；

（2）如圖（2），H，G分別為BC，AD的中點(diǎn)，A的對應(yīng)點(diǎn)F在HG上，折痕為DE，求重疊部分的面積；

（3）如圖（3），在圖（2）中，把長方形ABCD沿著HG對開，變成兩張長方形紙片，按圖示方式將兩張紙片任意疊合后，判斷重疊四邊形的形狀，并證明；

（4）在（3）中，重疊四邊形的周長是否存在最大值或最小值？如果存在，試求出來；如果不存在，試簡要說明理由.

Answer 1

【答案】（1）20cm；（2）；（3）重疊四邊形MNPQ的形狀是菱形，證明見解析；（4）菱形的最大周長為58cm．

【解析】

（1）根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知AD=AE=20cm，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）由折疊的性質(zhì)可得到DG=AD=DE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠EDA=30°，由銳角三角函數(shù)的定義得到AE的長，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定首先證得四邊形MNPQ是平行四邊形，因?yàn)閮蓷l矩形的寬度相等，然后根據(jù)平行四邊形MNPQ的面積公式即可證得四邊形的鄰邊相等，進(jìn)而證得四邊形是菱形；
（4）當(dāng)矩形紙片互相垂直時(shí)，這個(gè)菱形的周長最短，最小值是40cm，如圖2所示放置時(shí)，重疊部分的菱形面積最大，設(shè)GK=x，則HK=25-x，利用勾股定理即可求出x的值，進(jìn)而可得出菱形的周長．

（1）∵四邊形ADFE是正方形，

∴DE===20（cm）

（2）∵由折疊可知DG=AD=DF，

∴在Rt△DGF中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，

∵∠GDE=∠EDF，

∴∠EDA=30°．

∴在Rt△ADE中，AE=AD

∴由勾股定理得AE==．

∴S△DEF=AEAD=×20×=．

（3）重疊四邊形MNPQ的形狀是菱形；如圖1，

證明：因紙片都是矩形，則重疊四邊形的對邊互相平行，則四邊形MNPQ是平行四邊形．

如圖1，過Q作QL⊥NP于點(diǎn)L，QK⊥NM于點(diǎn)K，

又∵QL=QK，

∴SMNPQ=PNQL=MNQK．

∴MN=NP，

∴四邊形MNPQ的形狀是菱形．

（4）當(dāng)矩形紙片互相垂直時(shí)，這個(gè)菱形的周長最短是40cm．最大的菱形如圖2所示放置時(shí)，重疊部分的菱形面積最大．

設(shè)GK=x，則HK=25﹣x．

在Rt△KHB中，x2=（25﹣x）2+102，

解得x=14.5．

則菱形的最大周長為58 cm．