【題目】如圖①,四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)E,F分別在ABBC上,且∠EDF=45°,易證:AE+CF=EF(不用證明).

1)如圖②,在四邊形ABCD中,∠ADC=120°,DA=DC,∠DAB=BCD=90°,點(diǎn)E,F分別在ABBC上,且∠EDF=60°.猜想AECFEF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

2)如圖③,在四邊形ABCD中,∠ADC=2α,DA=DC,∠DAB與∠BCD互補(bǔ),點(diǎn)E,F分別在ABBC上,且∠EDF=α,請(qǐng)直接寫出AE,CFEF之間的數(shù)量關(guān)系,不用證明.

【答案】1AE+CF=EF,證明見(jiàn)解析;(2,理由見(jiàn)解析.

【解析】

1)由題干中截長(zhǎng)補(bǔ)短的提示,再結(jié)合第(1)問(wèn)的證明結(jié)論,在第二問(wèn)可以用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法來(lái)構(gòu)造全等,從而達(dá)到證明結(jié)果.

2)同理作輔助線,同理進(jìn)行即可,直接寫出猜想,并證明.

1)圖2猜想:AE+CF=EF,

證明:在BC的延長(zhǎng)線上截取CA'=AE,連接A'D,

∵∠DAB=BCD=90°,

∴∠DAB=DCA'=90°,

又∵AD=CDAE=A'C,

∴△DAE≌△DCA'SAS),

ED=A'D,∠ADE=A'DC,

∵∠ADC=120°,

∴∠EDA'=120°,

∵∠EDF=60°,

∴∠EDF=A'DF=60°

DF=DF,

∴△EDF≌△A'DFSAS),

EF=A'F=FC+CA'=FC+AE

2)如圖3,AE+CF=EF,

證明:在BC的延長(zhǎng)線上截取CA'=AE,連接A'D,

∵∠DAB與∠BCD互補(bǔ),∠BCD+DCA'=180°

∴∠DAB=DCA',

又∵AD=CDAE=A'C,

∴△DAE≌△DCA'SAS),

ED=A'D,∠ADE=A'DC,

∵∠ADC=2α,

∴∠EDA'=2α,

∵∠EDF=α,

∴∠EDF=A'DF=α

DF=DF,

∴△EDF≌△A'DFSAS),

EF=A'F=FC+CA'=FC+AE

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(2)當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí),(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)予以證明;若不成立,

請(qǐng)說(shuō)明理由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理).

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