Question

如圖，在兩個半圓中，大圓的弦MN與小圓相切，D為切點，且MN∥AB，MN=a，ON、CD分別為兩圓的半徑，則陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：如圖，作OE⊥MN于E．根據(jù)切線的性質(zhì)得O₁D為⊙O₁的半徑，易得四邊形OO₁DC為矩形，則OC=O₁D，再根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=

1

2

MN，在Rt△OEN中，利用勾股定理得到ON²-OE²=EN²=

1

4

a²，然后利用陰影部分的面積=

1

2

S_⊙C-

1

2

S_⊙O進行計算．

解答：解：如圖，作OE⊥MN于E．
∵大半圓的弦AB與小半圓相切，
∴CD為⊙C的半徑，
∴OC⊥MN，
又MN∥AB，
∴四邊形DCOE為矩形，
∴OE=CD，
∵OE⊥MN，
∴ME=NE=

1

2

MN=

1

2

a，
在Rt△OEN中，ON²-OE²=EN²=

1

4

a²，
∵陰影部分的面積=

1

2

S_⊙C-

1

2

S_⊙O=

1

2

（π•ON²-π•CD²）=

1

2

π（ON²-OE²）=

π

8

a2．
故答案為：

π

8

a2．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．