Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P是y軸上一動點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角形APQ，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)O時，點(diǎn)Q記作點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動（P不與O重合）時，請說明∠ABQ的大小是定值；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A，O，Q，B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意作輔助線過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，
（2）根據(jù)∠PAQ=∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB恒成立，得出當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值90°，
（3）根據(jù)點(diǎn)P在y的正半軸還是負(fù)半軸兩種情況討論，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BC⊥OA，垂足為C，
∵△OAB為等邊三角形，A的坐標(biāo)（2，0）
∴BO=OA=2，OC=1，∠BOC=60°，
∴BC=

3

．
∴B的坐標(biāo)(1，

3

)．

（2）∵△OAB與△APQ為等邊三角形
∴∠BAO=∠PAQ=60°
∴∠BAQ=∠OAP，
在△APO和△AQB中，

AP=AQ ∠PAO=∠QAB AO=AB

∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°，
∴當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動（P不與O重合）時，∠ABQ為定值90°；

（3）解：由（2）可知，點(diǎn)Q總在過點(diǎn)B且與AB垂直的直線上，可見AO與BQ不平行．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上時，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左方，
此時，若AB∥OQ，四邊形AOQB即是梯形，
當(dāng)AB∥OQ時，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又∵OB=OA=2，可求得BQ=

3

，由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=

3

，
∴此時P的坐標(biāo)為（0，-

3

）．

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上時，點(diǎn)Q在B的上方，
此時，若AQ∥OB，四邊形AOBQ即是梯形，
當(dāng)AQ∥OB時，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又∵AB=2，可求得BQ=2

3

，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2

3

，
∴此時P的坐標(biāo)為（（0，2

3

）．
綜上，P的坐標(biāo)為P的坐標(biāo)為（0，-

3

）或者為（0，2

3

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)以及梯形的性質(zhì)，注意利用分類討論思想得出結(jié)論是解題關(guān)鍵．