Question

如圖1，已知雙曲線y₁=

k

x

（k＞0）與直線y₂=k'x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．試解答下列問題：

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

； 當(dāng)x滿足

 

時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)y₁＜2時(shí)，x的取值范圍為

 

；當(dāng)x＞-4時(shí)，y₂的取值范圍為

 

．
（2）過原點(diǎn)O作另一條直線l，交雙曲線y=

k

x

（k＞0）于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，如圖2所示．
①四邊形APBQ一定是

 

；
②若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，求四邊形APBQ的面積；
③設(shè)點(diǎn)A、P的橫坐標(biāo)分別為m、n四邊形APBQ可能是矩形嗎？若可能，求m，n應(yīng)滿足的條件；若不可能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-2），在第三象限當(dāng)x＜-4時(shí)y₁＞y₂，在第一象限當(dāng)0＜x＜4時(shí)y₁＞y₂；當(dāng)x滿足x＜-4或0＜x＜4時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)y₁＜2時(shí)，x的取值范圍為x＞4或x＜0；當(dāng)x＞-4時(shí)，y₂的取值范圍為y₂＞-2．
（2）①由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證明APBQ是平行四邊形．
②平行四邊形的對角線把它分成四個(gè)面積相等的三角形，所以只要求出△AOP的面積，再將其乘以4就可以得到APBQ的面積．
③根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知，當(dāng)mn=k時(shí)OP=OA，此時(shí)APBQ是矩形．

解答：解：（1）∵正比例函數(shù)與反比例都關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（-4，-2）；
∵兩個(gè)函數(shù)都經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），
∴雙曲線的解析式為y₁=

8

x

，直線的解析式為y₂=

1

2

x，
∵雙曲線在每一象限y隨x的增大而減小，直線y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＜-4或0＜x＜4時(shí)，y₁＞y₂；
當(dāng)x滿足x＜-4或0＜x＜4時(shí)，y₁＞y₂；
當(dāng)y₁＜2時(shí)，x的取值范圍為x＞4或x＜0；
當(dāng)x＞-4時(shí)，y₂的取值范圍為y₂＞-2．
故答案為：（-4，-2），x＜-4或0＜x＜4，x＞4或x＜0，y₂＞-2．

（2）①∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)都關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ一定是平行四邊形．
故答案為：平行四邊形；

②∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1）
∴雙曲線為y=

3

x

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
過A作x軸的垂線CD交x軸于C，可得直角梯形OPDC，過P作PD⊥DC，垂足為D，
∴PD=3-1=2，AD=3-1=2，AC=1，OC=3，
∴S_△POA=S_梯形OPDC-S_△OAC-S_△ADP=

1

2

×（2+3）×3-

1

2

×3×1-

1

2

×2×2=4，
∴S_{四邊形APBQ}=4S_△POA=16．

③四邊形APBQ可能是矩形．
理由：∵當(dāng)mn=k時(shí)，此時(shí)A（m，n），P（n，m），
∴OA=OP，
∵OA=OB，OP=OQ，
∴AB=PQ，
∵四邊形APBQ是平行四邊形，
∴四邊形APBQ是矩形．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及平行四邊形與矩形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，綜合性較強(qiáng)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．