Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的圖象與x軸有兩個公共點．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m取滿足條件的最小的整數(shù)， ①寫出這個二次函數(shù)的解析式；
②當n≤x≤1時，函數(shù)值y的取值范圍是﹣6≤y≤4﹣n，求n的值；
③將此二次函數(shù)平移，使平移后的圖象經(jīng)過原點O．設(shè)平移后的圖象對應的函數(shù)表達式為y=a（x﹣h）2+k，當x＜2時，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)y=mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的圖象與x軸有兩個公共點，

∴關(guān)于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5=0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴ ，

解得：m＞﹣ 且m≠0．

（2）解：①∵m＞﹣ 且m≠0，m取其內(nèi)的最小整數(shù)，

∴m=1，

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x﹣4．

②∵拋物線的對稱軸為x=﹣ = ，1＞0，

∴當x≤ 時，y隨x的增大而減�。�

又∵n≤x≤1時，函數(shù)值y的取值范圍是﹣6≤y≤4﹣n，

∴ ，解得：n=﹣2．

③根據(jù)平移的性質(zhì)可知，a=1，

∵當x＜2時，y隨x的增大而減小，

∴h≥2．

∵平移后的圖象經(jīng)過原點O，

∴0=（0﹣h）2+k，即k=﹣h2，

∴k≤﹣4．

【解析】（1.）由拋物線與x軸有兩個交點，可得出關(guān)于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5=0有兩個不相等的實數(shù)根，利用根的判別式△＞0結(jié)合二次項系數(shù)非零，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍；（2.）①取（1）中m的最小整數(shù)，將其代入二次函數(shù)解析式中即可；②找出拋物線的對稱軸為x= ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合“當n≤x≤1時，函數(shù)值y的取值范圍是﹣6≤y≤4﹣n”，即可得出關(guān)于n的一元二次方程以及一元一次不等式，解之即可得出n的值；③根據(jù)平移的性質(zhì)可得出a=1，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出h≥2，再將（0，0）代入二次函數(shù)解析式中可得出k=﹣h2 ， 進而即可得出k的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)圖象的平移和二次函數(shù)的最值，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此題．