Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動點，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接AP．
（1）試說明不論點P在BC邊上何處時，都有△PBQ與△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，當BP為何值時，△AQP面積最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿足關(guān)系式BC=λAC，是否存在一個λ的值，使Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．

Answer 1

考點：相似形綜合題,二次函數(shù)的最值,三角形的面積,全等三角形的性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）利用“兩角法”可以證得△PBQ與△ABC相似；
（2）設(shè)BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、（1）中相似三角形的對應(yīng)邊成比例以及三角形的面積公式列出S與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求得二次函數(shù)的最值；
（3）利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC．在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC²=AB²-AC²，易求得：BC=

3

AC，則λ=

3

．

解答：解：（1）不論點P在BC邊上何處時，都有
∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B
∴△PBQ∽△ABC；

（2）設(shè)BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5
∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，
∴

PQ

AC

=

QB

BC

=

PB

AB

，即 

PQ

3

=

QB

4

=

x

5

∴PQ=

3

5

x，QB=

4

5

x
S_△APQ=

1

2

PQ×AQ
=-

6

25

x2+

3

2

x
=-

6

25

(x-

25

8

)2+

75

32

∴當x=

25

8

時，△APQ的面積最大，最大值是

75

32

；

（3）存在．
∵Rt△AQP≌Rt△ACP
∴AQ=AC
又∵Rt△AQP≌Rt△BQP
∴AQ=QB
∴AQ=QB=AC
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC²=AB²-AC²
∴BC=

3

AC
∴λ=

3

時，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式以及二次函數(shù)的最值的求法等知識點．難度較大．注意，在證明三角形相似時，充分利用公共角，在利用全等三角形的性質(zhì)時，要找準對應(yīng)邊．