Question

如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為x=1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）將△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜3）得到另一個(gè)三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S．

 

 

Answer 1

（1）y=﹣x2+2x+3

（2）（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）

（3）當(dāng)0＜m≤時(shí)，S=﹣m2+3m；當(dāng)＜m＜3時(shí)，S=m2﹣3m+．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸x=1、與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0）、與y軸的交點(diǎn)為B（0，3）可得關(guān)于a、b、c的方程組，解出即可

（2）分①MA=M；②AB=AM；③AB=BM三種情況討論可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）記平移后的三角形為△PEF．由待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3．易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中．分二種情況：①當(dāng)0＜m≤時(shí)；②當(dāng)＜m＜3時(shí)；討論可得用m的代數(shù)式表示S．

試題解析：（1）由題意可知，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)均為方程組的解，

故拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）①當(dāng)MA=MB時(shí)，M（0，0）；

②當(dāng)AB=AM時(shí)，M（0，﹣3）；

③當(dāng)AB=BM時(shí)，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．

（3）平移后的三角形記為△PEF．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則

，

解得．

則直線AB的解析式為y=﹣x+3．

△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜3）得到△PEF，

易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．

設(shè)直線AC的解析式為y=k′x+b′，則

，

解得．

則直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．

在△AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中．

①當(dāng)0＜m≤時(shí)，如圖1所示．

設(shè)PE交AB于K，EF交AC于M．

則BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，

聯(lián)立，

解得，

即點(diǎn)M（3﹣m，2m）．

故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM

=PE2﹣PK2﹣AF•h

=﹣（3﹣m）2﹣m•2m

=﹣m2+3m．

②當(dāng)＜m＜3時(shí)，如圖2所示．

設(shè)PE交AB于K，交AC于H．

因?yàn)锽E=m，所以PK=PA=3﹣m，

又因?yàn)橹本�AC的解析式為y=﹣2x+6，

所以當(dāng)x=m時(shí)，得y=6﹣2m，

所以點(diǎn)H（m，6﹣2m）．

故S=S△PAH﹣S△PAK

=PA•PH﹣PA2

=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2

=m2﹣3m+．

綜上所述，當(dāng)0＜m≤時(shí)，S=﹣m2+3m；當(dāng)＜m＜3時(shí)，S=m2﹣3m+．

考點(diǎn)：1、拋物線的對(duì)稱軸；2、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；3、分類思想、方程思想的應(yīng)用