Question

如圖，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求證：∠BPC=90°+

1

2

∠BAC．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接AP，且延長至G，推出點P是△ABC三角平分線的交點，求出∠CAG=∠BAG=

1

2

∠BAC，∠ACP=

1

2

∠ACB，∠ABP=

1

2

∠ABC，求出∠CPG=∠BAG+∠ABP=

1

2

（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=

1

2

（∠BAC+∠BC），根據(jù)∠BPC=∠CPG+∠BPG代入求出即可．

解答：證明：連接AP，且延長至G，
∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，
∴點P是△ABC三角平分線的交點，
∴AP平分∠BAC，
∴∠CAG=∠BAG=

1

2

∠BAC，
∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，
∴∠ACP=

1

2

∠ACB，∠ABP=

1

2

∠ABC，
∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=

1

2

（∠BAC+∠ACB），
∠BPG=∠BAG+∠ABP=

1

2

（∠BAC+∠BC），
∴∠BPC=∠CPG+∠BPG
=

1

2

（∠BAC+∠ACB）+

1

2

（∠BAC+∠ABC）
=∠BAC+

1

2

（180°-∠BAC）
=90°+

1

2

∠BAC．

點評：本題考查了角平分線性質(zhì)和定義，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中．