【題目】定義:有三個內(nèi)角相等凸四邊形叫三等角四邊形.
(1)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,求∠A的取值范圍;
(2)如圖,折疊平行四邊形紙片DEBF,使頂點E,F(xiàn)分別落在邊BE,BF上的點A,C處,折痕分別為DG,DH.求證:四邊形ABCD是三等角四邊形.
(3)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C<90°,若CB=CD=4,則當AD的長為何值時,AB的長最大,其最大值是多少?(作圖解答)
【答案】
(1)
解:∵∠A=∠B=∠C,
∴3∠A+∠ADC=360°,
∴∠ADC=360°﹣3∠A.
∵0<∠ADC<180°,
∴0°<360°﹣3∠A<180°,
∴60°<∠A<120°;
(2)
解:證明:∵四邊形DEBF為平行四邊形,
∴∠E=∠F,且∠E+∠EBF=180°.
∵DE=DA,DF=DC,
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF,
∵∠DAE+∠DAB=180°,∠DCF+∠DCB=180°,∠E+∠EBF=180°,
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC,
∴四邊形ABCD是三等角四邊形
(3)
解:①當60°<∠A<90°時,如圖1,
過點D作DF//AB,DE//BC,
∴四邊形BEDF是平行四邊形,∠DFC=∠B=∠DEA,
∴EB=DF,DE=FB,
∵∠A=∠B=∠C,∠DFC=∠B=∠DEA,
∴△DAE∽△DCF,AD=DE,DC=DF=4,
設AD=x,AB=y,
∴AE=y﹣4,CF=4﹣x,
∵△DAE∽△DCF,
∴ = ,
∴ = ,
∴y=﹣ x2+x+4=﹣ (x﹣2)2+5,
∴當x=2時,y的最大值是5,
即:當AD=2時,AB的最大值為5,
②當∠A=90°時,三等角四邊形是正方形,
∴AD=AB=CD=4,
③當90°<∠A<120°時,∠D為銳角,如圖2,
過點D作DE//BC,∠DCB=∠CBA,
∴四邊形BCDE是等腰梯形,
∴CD=EB=4,
∵AE=4﹣AB>0,
∴AB<4,
綜上所述,當AD=2時,AB的長最大,最大值是5
【解析】(1)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°,確定出∠A的范圍;(2)由四邊形DEBF為平行四邊形,得到∠E=∠F,且∠E+∠EBF=180°,再根據(jù)等角的補角相等,判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC,即可;(3)分三種情況分別討論計算AB的長,從而得出當AD=2時,AB最長;
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的應用的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分;測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為6,點B表示的數(shù)為﹣4,點C到點A、點B的距離相等,動點P從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動,設運動時間為x(x大于0)秒.
(1)點C表示的數(shù)是 ;
(2)當x= 秒時,點P到達點A處?
(3)運動過程中點P表示的數(shù)是 (用含字母x的式子表示);
(4)當P,C之間的距離為2個單位長度時,求x的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形的邊長.某一時刻,動點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動;同時,動點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動,問:
(1)經(jīng)過多少時間,的面積等于矩形面積的?
(2)是否存在時刻t,使以A,M,N為頂點的三角形與相似?若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一輛轎車從甲地駛往乙地,到達乙地后立即返回甲地,速度是原來的1.5倍,往返共用t小時.一輛貨車同時從甲地駛往乙地,到達乙地后停止.兩車同時出發(fā),勻速行駛,設轎車行駛的時間為x(h),兩車離開甲地的距離為y(km),兩車行駛過程中y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)轎車從乙地返回甲地的速度為 km/t,t= h;
(2)求轎車從乙地返回甲地時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當轎車從甲地返回乙地的途中與貨車相遇時,求相遇處到甲地的距離.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某小組計劃做一批“中國結(jié)”,如果每人做5個,那么比計劃多了9個;如果每人做4個,那么比計劃少15個.該小組共有多少人?計劃做多少個“中國結(jié)”?
根據(jù)題意,小明、小紅分別列出了尚不完整的方程如下:
小明:5x□( )=4x□( 。 小紅: .
(1)根據(jù)小明、小紅所列的方程,其中“□”中是運算符號,“( 。中是數(shù)字,請你分別指出未知數(shù)x、y表示的意義.
小明所列的方程中x表示 ,
小紅所列的方程中y表示 ;
(2)請選擇小明、小紅中任意一種方法,完整的解答該題目.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的方格紙中,△ABC的頂點都在小正方形的頂點上,以小正方形互相垂直的兩邊所在直線建立直角坐標系.
(1)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1,其中A,B,C分別和A1,B1,C1對應;
(2)平移△ABC,使得A點在x軸上,B點在y軸上,平移后的三角形記為△A2B2C2,作出平移后的△A2B2C2,其中A,B,C分別和A2,B2,C2對應;
(3)△ABC的面積是________.
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【題目】如圖,A、B分別為數(shù)軸上的兩點,A點對應的數(shù)為﹣20,B點對應的數(shù)為100.
(1)請寫出與A,B兩點距離相等的點M所對應的數(shù) .
(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點出發(fā),以6單位/秒的速度向左運動,同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā),以4單位/秒的速度向右運動,x秒后兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇,請列方程求出x,并指出點C表示的數(shù).
(3)若當電子螞蟻P從B點出發(fā)時,以6單位/秒的速度向左運動,同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā),以4單位/秒的速度也向左運動,y秒后兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點相遇,請列方程求出y并指出點D表示的數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為營造書香家庭,周末小亮和姐姐一起從家出發(fā)去圖書館借書,走了6min發(fā)現(xiàn)忘帶借書證,小亮立即騎路邊共享單車返回家中取借書證,姐姐以原來的速度繼續(xù)向前走,小亮取回借書證后騎單車原路原速前往圖書館,小亮追上姐姐后用單車帶著姐姐一起前往圖書館。已知騎車的速度是步行速度的2倍,如圖是小亮和姐姐距離家的路程y(m)與出發(fā)的時間x(min)的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)小亮在家停留了多長時間?
(2)求小亮騎車從家出發(fā)去圖書館時距家的路程 y(m)與出發(fā)時間 x(min)之間的函數(shù)解析式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB邊上一點.
(1)求證:△ACE≌△BCD;
(2)若AD=5,BD=12,求DE的長.
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