Question

如圖，點P是邊長為4的菱形ABCD對角線AC上的一個動點，∠BAD=60°，點M是AB邊上的中點，求：
（1）MP+BP的最小值；
（2）把點M是AB的中點，改為M是AB上任意一點，其他條件不變，則：MP+BP的最小值又是什么呢？

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）找出B點關于AC的對稱點D，連接DM，則DM就是PM+PB的最小值，求出即可．
（2）根據(jù)△ADB是等邊三角形，只有M處于AB的中點時，MP+BP的值最小，即可判定；

解答：解：（1）連接DE交AC于P，連接BD，BP，
由菱形的對角線互相垂直平分，可得B、D關于AC對稱，則PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DM就是PM+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等邊三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三線合一的性質(zhì)）
在Rt△ADE中，DM=

AD2-AM2

=

42-22

=2

3

．
故PM+PB的最小值為2

3

．
（2）把點M是AB的中點，改為M是AB上任意一點，其他條件不變，則：MP+BP的最小值仍為2

3

；
∵△ADB是等邊三角形，
∴M處于AB的中點時，MP+BP的值最�。�

點評：本題考查的是最短線路問題及菱形的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出點D是點B關于AC的對稱點是解答此題的關鍵．