【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,PBA延長線上一點,PC切⊙O于點C,CDAB,垂足為D

1)求證:∠PCA=∠ABC;

2)過點AAEPC交⊙O于點E,交CD于點F,交BC于點M,若∠CAB2BCF,求陰影部分的面積.

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】

(1)如圖,連接OC,利用圓的切線的性質(zhì)和直徑對應(yīng)的圓周角是直角可得∠PCA=OCB,利用等量代換可得∠PCA=ABC.

(2)先求出△OCA是等邊三角形,在利用三角形的等邊對等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分別求出AM、AC、MO、CD的值,分別求出 、 的值,利用,然后通過計算即可解答.

解:(1)證明:連接OC,如圖,

∵PC切⊙O于點C,∴OC⊥PC,

∴∠PCA+∠ACO=90,

∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=∠ACO+OCB=90

∴∠PCA=∠OCB,

∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,

∴∠PCA=∠ABC;

(2)連接OE,如圖,

∵△ACB中,∠ACB=90,∠CAB=2∠B,

∴∠B=30,∠CAB=60,∴△OCA是等邊三角形,

∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD=∠CAD+∠ABC=90,

∴∠ACD=∠B=30,

∵PC∥AE,∴∠PCA=∠CAE=30,∴FC=FA,

同理,CF=FM,∴AM=2CF=,

Rt△ACM中,易得AC=×=3=OC,

∵∠B=∠CAE=30,∴∠AOC=∠COE=60,

∴∠EOB=60,∴∠EAB=∠ABC=30,∴MA=MB,

連接OM,EG⊥AB交AB于G點,如圖所示,

∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO=OA×tan30= ,

∵△CDO≌△EDO(AAS),

∴EG=CD=AC×sin60=

,

同樣,易求,

=.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)ykxb的圖象與反比例函數(shù)y (x0)的圖象交于點P(n2),與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點C,PBx軸于點B,點A與點B關(guān)于y軸對稱.

(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式;

(2)求證:點C為線段AP的中點.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,AC是對角線,AB=8cm,BC=6cm.點P從點A出發(fā),沿AC方向勻速運動,速度為2cm/s,同時,點Q從點B出發(fā),沿BA方向勻速運動,速度為2cm/s.過點P作PMAD于點M,連接PQ,設(shè)運動時間為t(s)(0<t<4),解答下列問題:

(1)當(dāng)t為何值時,點Q在線段AC的中垂線上;

(2)寫出四邊形PQAM的面積為S(cm2)與時間t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)是否存在某一時刻t,使S四邊形PQAM:S矩形ABCD=9:50?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由;

(4)當(dāng)t為何值時,APQ與ADC相似.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,點D、E、F、G分別為線段AB、OB、OCAC的中點.

1)求證:四邊形DEFG是平行四邊形;

2)如圖2,若點MEF的中點,BECFDG23,求證:∠MOF=∠EFO

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB4,點E、F分別在CD、AD上,CEDFBE、CF相交于點G,若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為34,則△BCG的面積為_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知等腰△ABC中,ABAC.以C為圓心,CB的長為半徑作弧,交AB于點D.分別以B、D為圓心,大于BD的長為半徑作弧,兩弧交于點E.作射線CEAB于點M.分別以AC為圓心,CM、AM的長為半徑作弧,兩弧交于點N.連接ANCN

1)求證:ANCN

2)若AB5,tanB3,求四邊形AMCN的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD與雙曲線交于D、E兩點,將OCD沿OD翻折,點C的對稱C'恰好落在邊AB上,已知OA=3,OC=5,則AE長為(

A. 4B. C. D. 3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形,如果這兩個三角形相似但不全等,我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線”.

1)如圖1,在四邊形中,,,對角線平分.求證:是四邊形相似對角線;

2)如圖2,已知格點,請你在正方形網(wǎng)格中畫出所有的格點四邊形,使四邊形是以相似對角線的四邊形;(注:頂點在小正方形頂點處的多邊形稱為格點多邊形)

3)如圖3,四邊形中,點在射線上,點軸正半軸上,對角線平分,連接.是四邊形相似對角線,求點的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為迎接中國森博會,某商家計劃從廠家采購AB兩種產(chǎn)品共20件,產(chǎn)品的采購單價(元/件)是采購數(shù)量(件)的一次函數(shù),下表提供了部分采購數(shù)據(jù).

采購數(shù)量(件)

1

2

A產(chǎn)品單價(元/件)

1480

1460

B產(chǎn)品單價(元/件)

1290

1280

1)設(shè)A產(chǎn)品的采購數(shù)量為x(件),采購單價為y1(元/件),求y1x的關(guān)系式;

2)經(jīng)商家與廠家協(xié)商,采購A產(chǎn)品的數(shù)量不少于B產(chǎn)品數(shù)量的,且A產(chǎn)品采購單價不低于1200元,求該商家共有幾種進(jìn)貨方案;

3)該商家分別以1760/件和1700/件的銷售單價售出A,B兩種產(chǎn)品,且全部售完,在(2)的條件下,求采購A種產(chǎn)品多少件時總利潤最大,并求最大利潤.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案