Question

如圖，在矩形AOCD中，把點D沿AE對折，使點D落在OC上的F點，已知AO=8．AD=10．
（1）求F點的坐標；
（2）如果一條不與拋物線對稱軸平行的直線與該拋物線僅有一個交點，我們把這條直線稱為拋物線的切線，已知拋物線過點O，F(xiàn)，且直線y=6x-36是該拋物線的切線，求拋物線的解析式；
（3）直線y=k（x-3）-

35

4

與（2）中的拋物線交于P、Q兩點，點B的坐標為（3，-

35

4

），求證：

1

PB

+

1

QB

為定值．（參考公式：在平面直角坐標系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M，N兩點間的距離為|MN|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

）

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,兩點間的距離

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)折疊的性質得到AF=AD，所以在在直角△AOF中，利用勾股定理來求OF的長度，然后由點F在x軸上易求點F的坐標；
（2）已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，所以可以設拋物線的交點式方程y=a（x-0）（x-6），即y=ax（x-6）（a≠0）．根據(jù)拋物線的切線的定義知，直線y=6x-36與該拋物線有一個交點，則聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，得到關于x的一元二次方程ax²-（6a+6）x+36=0，則該方程的根的判別式△=0；
（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），假設x₁＞3，x₂＜3．根據(jù)拋物線與直線的交點坐標的求法得到：x2-(6+k)x+3k+

35

4

=0，根據(jù)根與系數(shù)的關系求得x₁+x₂=6+k，x1•x2=3k+

35

4

．利用兩點間的距離公式推知

1

PB

+

1

QB

=

1

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

3(x1+x2)-x1x2-9

，易求

1

1+k2

•

1+k2

9- 35 4

=

4

73

為定值．

解答：解：（1）由折疊的性質得到：△ADE≌△AFE，則AF=AD．
又∵AD=10，AO=8，
∴OF=

AF2-OA2

=

102-82

=6，
∴F（6，0）；

（2）依題意可設過點O、F的拋物線解析式為y=a（x-0）（x-6），即y=ax（x-6）（a≠0）．
依題意知，拋物線與直線y=6x-36相切，
∴

y=ax(x-6) y=6x-36

，
∴ax²-（6a+6）x+36=0 有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=[-（6a+6）]²-4a×36=0，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為 y=x²-6x；

（3）證明：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），假設x₁＞3，x₂＜3．
依題意得

y=k(x-3)- 35 4 y=x2-6x

，
得 x2-(6+k)x+3k+

35

4

=0，
∴x₁+x₂=6+k，x1•x2=3k+

35

4

．
∵

1

PB

+

1

QB

=

1

(x1-3)2+(y1+ 35 4 )2

+

1

(x2-3)2+(y2+ 35 4 )2

=

1

(x1-3)2+k2(x1-3)2

+

1

(x2-3)2+k2(x2-3)2

=

1

1+k2

(

1

x1-3

+

1

3-x2

)
=

1

1+k2

•

x1-x2

3(x1+x2)-x1x2-9

=

1

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

3(x1+x2)-x1x2-9

      
即

1

1+k2

•

1+k2

9- 35 4

=4為定值．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．解題時，要學生掌握數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．另外，解答（3）題時，需要熟悉兩點間的距離公式．