Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限交于點(diǎn)A（4，3），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且OA=OB．

（1）求一次函數(shù)y=kx+b和y=的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)C在x軸上，且△ABC的面積是8，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）反比例函數(shù)y=（1≤x≤4）的圖象記為曲線C1，將C1向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得曲線C2，則C1平移至C2處所掃過(guò)的面積是_________．(直接寫(xiě)出答案)

Answer 1

【答案】（1），；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為或；（3）27.

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a值，從而得出反比例函數(shù)解析式；由勾股定理得出OA的長(zhǎng)度從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），令直線AB與x軸的交點(diǎn)為D，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△ABC的面積是8，可得出關(guān)于m的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解方程即可得出m值，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)M、N分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)E、F，根據(jù)反比例函數(shù)解析式以及平移的性質(zhì)找出點(diǎn)E、F、M、N的坐標(biāo)，根據(jù)EM∥FN，且EM=FN，可得出四邊形EMNF為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的面積公式求出平行四邊形EMNF的面積S，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出C1平移至C2處所掃過(guò)的面積正好為S．

試題解析：

（1）∵點(diǎn)A（4，3）在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴a=4×3=12，

∴反比例函數(shù)解析式為y=；

∵OA==5，OA=OB，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，

∴點(diǎn)B（0，﹣5）．

把點(diǎn)A（4，3）、B（0，﹣5）代入y=kx+b中，

得： ，解得： ，

∴一次函數(shù)的解析式為y=2x﹣5．

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），令直線AB與x軸的交點(diǎn)為D，如圖1所示．

令y=2x﹣5中y=0，則x=，

∴D（，0），

∴S△ABC=CD（yA﹣yB）=|m﹣|×[3﹣（﹣5）]=8，

解得：m=或m=．

故當(dāng)△ABC的面積是8時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．

（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)M、N分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)E、F，如圖2所示．

令y=中x=1，則y=12，

∴E（1，12），；

令y=中x=4，則y=3，

∴F（4，3），

∵EM∥FN，且EM=FN，

∴四邊形EMNF為平行四邊形，

∴S=EM（yE﹣yF）=3×（12﹣3）=27．

C1平移至C2處所掃過(guò)的面積正好為平行四邊形EMNF的面積．

故答案為：27．