Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax²+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若點P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連結(jié)PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點，

∴，解得，

∴該二次函數(shù)的解析式為y=x²﹣x﹣4；

（2）由二次函數(shù)y=x²﹣x﹣4可知對稱軸x=3，

∴D（3，0），

∵C（8，0），

∴CD=5，

由二次函數(shù)y=x²﹣x﹣4可知B（0，﹣4），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

∴，解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣4，

設E（m，m﹣4），

當DC=CE時，EC²=（m﹣8）²+（m﹣4）²=CD²，

即（m﹣8）²+（m﹣4）²=5²，解得m₁=8﹣2，m₂=8+2（舍去），

∴E（8﹣2，﹣）；

當DC=DE時，ED²=（m﹣3）²+（m﹣4）²=CD²，

即（m﹣3）²+（m﹣4）²=5²，解得m₃=0，m₄=8（舍去），

∴E（0，﹣4）；

當EC=DE時，（m﹣8）²+（m﹣4）²=（m﹣3）²+（m﹣4）²解得m₅=5.5，

∴E（，﹣）．

綜上，存在點E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點E的坐標為（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）．

（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點F，

∵P點的橫坐標為m，

∴P點的縱坐標為m²﹣m﹣4，

∵△PBD的面積S=S_梯形﹣S_△BOD﹣S_△PFD=m[4﹣（m²﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m²﹣m﹣4）]﹣×3×4

=﹣m²+m=﹣（m﹣）²+

∴當m=時，△PBD的最大面積為，

∴點P的坐標為（，﹣）．