Question

閱讀材料：
學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次探究活動(dòng)：估算

13

的近似值．
小明的方法：
∵

9

＜

13

＜

16

，
設(shè)

13

=3+k（0＜k＜1）．
∴(

13

)2=(3+k)2．
∴13=9+6k+k²．
∴13≈9+6k．
解得 k≈

4

6

．
∴

13

≈3+

4

6

≈3.67．
問(wèn)題：
（1）請(qǐng)你依照小明的方法，估算

31

的近似值；
（2）請(qǐng)結(jié)合上述具體實(shí)例，概括出估算

m

的公式：已知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若a＜

m

＜a+1，且m=a²+b，則

m

≈

 

（用含a、b的代數(shù)式表示）；
（3）請(qǐng)用（2）中的結(jié)論估算

57

的近似值為：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：估算無(wú)理數(shù)的大小

專題：閱讀型

分析：（1）根據(jù)題目信息，找出41前后的兩個(gè)平方數(shù)，從而確定出

31

=6+k（0＜k＜1），再根據(jù)題目信息近似求解即可；
（2）根據(jù)題目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；
（3）把a(bǔ)換成7，b換成8代入公式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵

25

＜

31

＜

36

，
設(shè)

31

=5+k（0＜k＜1），
∴（

31

）²=（5+k）²，
∴31=25+10k+k²，
∴31≈25+10k．
解得k≈

6

10

，
∴

31

≈5+

6

10

≈5+0.6=5.6；

（2）設(shè)

m

=a+k（0＜k＜1），
∴m=a²+2ak+k²≈a²+2ak，
∵m=a²+b，
∴a²+2ak=a²+b，
解得k=

b

2a

，
∴

m

≈a+

b

2a

；

（3）

57

≈7+

8

14

≈7.57．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，讀懂題目提供信息，然后根據(jù)信息中的方法改變數(shù)據(jù)即可，找出一般性的方法解決問(wèn)題．