【題目】△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作菱形ADEF,使∠DAF=60°,連接CF.
(1)觀察猜想:如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),①AB與CF的位置關(guān)系為: ;
②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為: .
(2)數(shù)學(xué)思考:如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí),結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明.
(3)拓展延伸:如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),設(shè)AD與CF相交于點(diǎn)G,若已知AB=4,CD=AB,求AG的長.
【答案】(1) ①AB∥CF ; ②BC=CD+CF;(2)見解析;(3).
【解析】(1)①根據(jù)菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),推出△DAB≌△FAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD,再根據(jù)BD+CD=BC,即可得出CF+CD=BC;
(2)依據(jù)△ABD≌△ACF,即可得到∠ACF+∠BAC=180°,進(jìn)而得到AB∥CF;依據(jù)△ABD≌△ACF可得BD=CF,依據(jù)CD﹣BD=BC,即可得出CD﹣CF=BC;
(3)判定△ABD≌△ACF,即可得到CF=BD=BC+CD=6,∠ACG=∠ABC=60°=∠ADF,再根據(jù)△AGC∽△FGD,即可得到==,進(jìn)而得出AG的長.
(1)①∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF.
又∵菱形ADEF中,AD=AF,∴△ABD≌△ACF,∴∠ACF=∠ABD=60°.
又∵∠ACB=60°,∴∠ABC+∠BCF=180°,∴AB∥CF;
②∵△ABD≌△ACF,∴BD=CF.
又∵BD+CD=BC,∴CF+CD=BC.
故答案為:AB∥CF;CF+CD=BC;
(2)結(jié)論①成立,而結(jié)論②不成立.證明如下:
如圖2.∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°=∠DAF,∠ABD=120°,∴∠BAD=∠CAF.
又∵菱形ADEF中,AD=AF,∴△ABD≌△ACF,∴∠ACF=∠ABD=120°.
又∵∠CAB=60°,∴∠ACF+∠BAC=180°,∴AB∥CF;
∵△ABD≌△ACF, ∴BD=CF.
又∵CD﹣BD=BC,∴CD﹣CF=BC;
(3)如圖3,連接DF,過A作AH⊥BD于H,則AH=2,DH=2+2=4,∴Rt△ADH中,AD=2.
∵AF=AD,∠DAF=60°,∴△ADF是等邊三角形.
又∵∠BAC=60°,AB=AC,∴∠BAD=∠CAF,∴△
又∵∠AGC=∠FGD,∴△AGC∽△FGD,∴===,∴可設(shè)AG=4x,則FG=2x,CG=6﹣2x,DG=2﹣4x,∴=,解得:x=,∴AG=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將一個(gè)小球從斜坡的點(diǎn)O處拋出,小球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=4x﹣x2刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. 當(dāng)小球拋出高度達(dá)到7.5m時(shí),小球水平距O點(diǎn)水平距離為3m
B. 小球距O點(diǎn)水平距離超過4米呈下降趨勢(shì)
C. 小球落地點(diǎn)距O點(diǎn)水平距離為7米
D. 斜坡的坡度為1:2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為進(jìn)一步推廣“陽光體育”大課間活動(dòng),某中學(xué)對(duì)已開設(shè)的A實(shí)心球,B立定跳遠(yuǎn),C跑步,D跳繩四種活動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)生喜歡情況,進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1、圖2的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解答下列問題:
(1)在這項(xiàng)調(diào)查中,共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)請(qǐng)計(jì)算本項(xiàng)調(diào)查中喜歡“跑步”的學(xué)生人數(shù)和所占百分比,并將兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)計(jì)算本項(xiàng)調(diào)查中喜歡“跑步”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(4)如果全校共1200名同學(xué),請(qǐng)你估算喜歡“跑步”的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若一次函數(shù)y=kx+b在y軸上的截距為4且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4,則此一次函數(shù)解析式為________________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年12月全市組織了計(jì)算機(jī)等級(jí)考試,江南中學(xué)九(1)班同學(xué)都參加了計(jì)算機(jī)等級(jí)考試,分第一試場(chǎng)、第二試場(chǎng)、第三試場(chǎng),下面兩幅統(tǒng)計(jì)圖反映原來安排九(1)班考生人數(shù),請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息回答下列問題:
(1)該班參加第三試場(chǎng)考試的人數(shù)為_____,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)根據(jù)實(shí)際情況,需從第一試場(chǎng)調(diào)部分學(xué)生到第三試場(chǎng)考試,使第一試場(chǎng)的人數(shù)與第三試場(chǎng)的人數(shù)比為2:3,應(yīng)從第一試場(chǎng)調(diào)多少學(xué)生到第三試場(chǎng)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(1,﹣2).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求直線y=kx+b上到x軸距離為7的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某校九年級(jí)男生1000米跑的水平,從中隨機(jī)抽取部分男生進(jìn)行測(cè)試,并把測(cè)試成績分為D、C、B、A四個(gè)等次繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你依圖解答下列問題:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示C等次的扇形所對(duì)的圓心角的度數(shù)為 度;
(3)學(xué)校決定從A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,隨機(jī)選取兩名男生參加全市中學(xué)生1000米跑比賽,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法,求甲、乙兩名男生同時(shí)被選中的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣2x+4交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y=的圖象有唯一的公共點(diǎn)C.
(1)求k的值及C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)直線l與直線y=﹣2x+4關(guān)于x軸對(duì)稱,且與y軸交于點(diǎn)B',與雙曲線y=交于D、E兩點(diǎn),求△CDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)、、,表示的數(shù)分別是、、3,請(qǐng)回答:
(1)若使、兩點(diǎn)的距離與、兩點(diǎn)的距離相等,則需將點(diǎn)向左移動(dòng)_________個(gè)單位長度;
(2)點(diǎn)、、開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒2個(gè)單位長度和5個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)秒鐘后:
①點(diǎn)、、表示的數(shù)分別是________、________、________(用含的式子表示);
②若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為,點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為.試問:的值是否隨著時(shí)間的變化而改變?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,請(qǐng)求出值.
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