Question

【題目】曲阜限制“三小車輛”出行后，為方便市民出行，準(zhǔn)備為、、、四個(gè)村建一個(gè)公交車站.

（1）請(qǐng)問(wèn)：公交站建在何處才能使它到4個(gè)村的距離之和最小，請(qǐng)?jiān)趫D一中找出點(diǎn)；

（2）請(qǐng)問(wèn)：公交站建在何處才能使它到道路、、的距離相等，請(qǐng)?jiān)趫D二中找出點(diǎn)并加以說(shuō)明.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）公交站P是AC與BD的交點(diǎn)，要證這點(diǎn)到四點(diǎn)的距離最小，可以證明除這點(diǎn)以外的點(diǎn)到四點(diǎn)的距離大于這點(diǎn)到四點(diǎn)的距離；

（2）公交站是∠ABC與∠DCB角平分線的交點(diǎn)，由角平分線性質(zhì)定理可知，角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.

解：（1）應(yīng)建在AC，BD連線的交點(diǎn)P處，如圖一，

理由：如下圖，若不建在P處，建在P1處，由三角形兩邊之和大于第三邊可知，

，

即P1A+P1C+P1B+P1D＞AC+BD，

故結(jié)論成立應(yīng)建在P處．

即P1A+P1C+P1B+P1D＞AC+BD．
故結(jié)論成立應(yīng)建在P處．

（2）應(yīng)建在∠ABC與∠DCB角平分線的交點(diǎn)處，如圖二，

理由：由角平分線性質(zhì)定理可知，角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.

所以點(diǎn)P道路、、的距離相等.