Question

問題1：若方程組

4x+y=k+1 x+4y=3

的解滿足條件0＜x+y＜1，求k的取值范圍．
（1）小華在解本題時發(fā)現(xiàn)：由于方程組中x、y的系數(shù)恰好都分別為1和4，所以直接將方程組①、②相加，可得

 

，即x+y=

 

，由條件0＜x+y＜1得：

 

．從而求得k的取值范圍：

 

．這種不需求x、y，而直接求x+y的方法數(shù)學中稱為整體代換．
（2）問題2：若方程組

2x+5y=k+1 3x+5y=3

的解滿足條件0＜x+y＜1，求k的取值范圍．小華在解此題時發(fā)現(xiàn)由于x、y的系數(shù)不對等，整體代換不可行，但聰明的小華并沒有放棄，通過探索發(fā)現(xiàn)通過給方程①、②分別乘以不同的數(shù)，仍然可以達到整體代換的目的：如：方程①×（-2）得：

 

③；方程②×3得：

 

④；將方程③、④相加得：

 

；所以x+y=

 

．
（3）若問題變?yōu)椤叭舴匠探M

2x+5y=k+1 3x+5y=3

的解滿足條件0＜2x+y＜1，求k的取值范圍”．
探索：問應如何確定兩方程的變形，才能達到不需求x、y的值，而確定2x+y的值．

Answer 1

考點：二元一次方程組的解,解一元一次不等式組

專題：閱讀型

分析：（1）（2）直接按照步驟填出答案即可；
（3）方程①×（-7）+方程②×8得出關于2x+y的式子，進一步求得答案即可．

解答：解：（1）

4x+y=k+1 x+4y=3

①、②相加，可得5x+5y=k+4
即x+y=

k+4

5

由條件0＜x+y＜1得：
0＜

k+4

5

＜1
解得-4＜k＜1；
（2）

2x+5y=k+1 3x+5y=3

方程①×（-2）得：-4x-10y=-2k-2③
方程②×3得：9x+15y=9④
將方程③、④相加得：5x+5y=-2k+7
所以x+y=

-2k+7

5

．
（3）

2x+5y=k+1 3x+5y=3

方程①×（-7）得：-14x-35y=-7k-7③
方程②×8得：24x+40y=24④
將方程③、④相加得：10x+5y=-7k+17
所以2x+y=

-7k+17

5

0＜2x+y＜1
得0＜

-7k+17

5

＜1
解得

12

7

＜k＜

17

7

．

點評：此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值，注意整體思想的滲透．