【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C點在⊙O上,AD平分角∠BAC交⊙O于D,過D作直線AC的垂線,交AC的延長線于E,連接BD,CD.
(1)求證:BD=CD;
(2)求證:直線DE是⊙O的切線;
(3)若DE=,AB=4,求AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)AD=2.
【解析】
(1)由角平分線定義得出∠CAD=∠BAD,即可得出結論;
(2)連接半徑OD,則OD=OA,得出∠OAD=∠ODA,由∠EAD+∠ADE=90°,∠EAD=∠BAD,得出∠BAD+∠ADE=90°,即∠ODA+∠ADE=90°,即可得出結論;
(3)過點D作DF⊥AB于F,則DF=DE=,由勾股定理得出OF==1,易證△OBD是等邊三角形,得出OF=FB=1,AF=AB-FB=3,由勾股定理即可得出結果.
(1)證明:∵在⊙O中,AD平分角∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴BD=CD;
(2)證明:連接半徑OD,如圖1所示:
則OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∵DE⊥AC于E,在Rt△ADE中,
∴∠EAD+∠ADE=90°,
由(1)知∠EAD=∠BAD,
∴∠BAD+∠ADE=90°,即∠ODA+∠ADE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切線;
(3)解:過點D作DF⊥AB于F,如圖2所示:
則DF=DE=,
∵AB=4,
∴半徑OD=2,
在Rt△ODF中,OF===1,
∴∠ODF=30°,
∴∠DOB=60°,
∵OD=OB,
∴△OBD是等邊三角形,
∴OF=FB=1,
∴AF=AB﹣FB=4﹣1=3,
在Rt△ADF中,AD===2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.
己知:如圖1,直線和直線外一點.
求作:直線的平行直線,使它經(jīng)過點.
作法:如圖2,
(1)過作直線與直線交于點;
(2)在直線取一點,以點為圓心,長為半徑畫弧,與直線交于點;
(3)以點為圓心,長為半徑畫弧,交直線于點以點為圓心,長為半徑畫弧,兩弧交于點;
(4)作直線.
所以,直線就是所求作的平行線.
請回答:該作圖的依據(jù)是______________________________________________.
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【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點E是CD上一點(不與C,D兩點重合),連接BE,過點C作CH⊥BE于點F,交對角線BD于點G,交AD邊于點H,連接GE,
(1)求證:△DHC≌△CEB;
(2)如圖2,若點E是CD的中點,當BE=8時,求線段GH的長;
(3)設正方形ABCD的面積為S1,四邊形DEGH的面積為S2,當的值為時,的值為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的布袋中裝有相同的三個小球,其上面分別標注數(shù)字1、2、3、,現(xiàn)從中任意摸出一個小球,將其上面的數(shù)字作為點M的橫坐標;將球放回袋中攪勻,再從中任意摸出一個小球,將其上面的數(shù)字作為點M的縱坐標.
(1)求點M在直線y=x上的概率;
(2)求點M的橫坐標與縱坐標之和是偶數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】學習投影后,小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度,并探究影子長度的變化規(guī)律.如圖,在同一時間,身高為的小明的影子長是,而小穎剛好在路燈燈泡的正下方點,并測得.
(1)請在圖中畫出形成影子的光線,并確定路燈燈泡所在的位置;
(2)求路燈燈泡的垂直高度;
(3)如果小明沿線段BH向小穎(點H)走去,當小明走到BH中點B1處時,請在圖中畫出此時小明的影長B1C1,并求B1C1的長;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是的直徑,且,是上一點,將弧沿直線翻折,使翻折后的圓弧恰好經(jīng)過圓心,則
(1)的長是_________.
(2)劣弧的長是__________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在中,,,以為邊在的另一側作,點為射線上任意一點,在射線上截取,連接、、.
(1)如圖1,當點落在線段的延長線上時,求的度數(shù);
(2)如圖2,當點落在線段(不含邊界)上時,與交于點,請問(1)中的結論是否仍成立?如果成立,請給出證明;如果不成立,請說明理由;
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