Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C點在⊙O上，AD平分角∠BAC交⊙O于D，過D作直線AC的垂線，交AC的延長線于E，連接BD，CD．

（1）求證：BD＝CD；

（2）求證：直線DE是⊙O的切線；

（3）若DE＝，AB＝4，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AD＝2．

【解析】

（1）由角平分線定義得出∠CAD=∠BAD，即可得出結論；
（2）連接半徑OD，則OD=OA，得出∠OAD=∠ODA，由∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD=∠BAD，得出∠BAD+∠ADE=90°，即∠ODA+∠ADE=90°，即可得出結論；
（3）過點D作DF⊥AB于F，則DF=DE=，由勾股定理得出OF==1，易證△OBD是等邊三角形，得出OF=FB=1，AF=AB-FB=3，由勾股定理即可得出結果．

（1）證明：∵在⊙O中，AD平分角∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD，

∴BD＝CD；

（2）證明：連接半徑OD，如圖1所示：

則OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，

∴∠EAD+∠ADE＝90°，

由（1）知∠EAD＝∠BAD，

∴∠BAD+∠ADE＝90°，即∠ODA+∠ADE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（3）解：過點D作DF⊥AB于F，如圖2所示：

則DF＝DE＝，

∵AB＝4，

∴半徑OD＝2，

在Rt△ODF中，OF＝＝＝1，

∴∠ODF＝30°，

∴∠DOB＝60°，

∵OD＝OB，

∴△OBD是等邊三角形，

∴OF＝FB＝1，

∴AF＝AB﹣FB＝4﹣1＝3，

在Rt△ADF中，AD＝＝＝2．