【題目】 如圖,點E、F分別為正方形ABCD的邊BC、CD上一點,AC、BD交于點O,且∠EAF45°,AEAF分別交對角線BD于點M,N,則有以下結(jié)論:①AOM∽△ADF;②EFBE+DF;③∠AEB=∠AEF=∠ANM;④SAEF2SAMN,以上結(jié)論中,正確的個數(shù)有(。﹤.

A. 1B. 2C. 3D. 4

【答案】D

【解析】

如圖,把ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABH,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,BH=DF,AH=AF,∠BAH=DAF,由已知條件得到∠EAH=EAF=45°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=EF,所以∠ANM=AEB,則可求得②正確;

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到①正確;

根據(jù)相似三角形的判定定理得到OAM∽△DAF,故③正確;

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠AEN=ABD=45°,推出AEN是等腰直角三角形,根據(jù)勾股定理得到AEAN,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EFMN,于是得到SAEF=2SAMN.故④正確.

如圖,把ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABH

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,BHDF,AHAF,∠BAH=∠DAF

∵∠EAF45°

∴∠EAH=∠BAH+BAE=∠DAF+BAE90°﹣∠EAF45°

∴∠EAH=∠EAF45°

AEFAEH

∴△AEF≌△AEHSAS

EHEF

∴∠AEB=∠AEF

BE+BHBE+DFEF,

故②正確

∵∠ANM=∠ADB+DAN45°+DAN,

AEB90°﹣∠BAE90°﹣(∠HAE﹣∠BAH)=90°﹣(45°﹣∠BAH)=45°+BAH

∴∠ANM=∠AEB

∴∠ANM=∠AEB=∠ANM;

故③正確,

ACBD

∴∠AOM=∠ADF90°

∵∠MAO45°﹣∠NAO,∠DAF45°﹣∠NAO

∴△OAM∽△DAF

故①正確

連接NE

∵∠MAN=∠MBE45°,∠AMN=∠BME

∴△AMN∽△BME

∵∠AMB=∠EMN

∴△AMB∽△NME

∴∠AEN=∠ABD45°

∵∠EAN45°

∴∠NAENEA45°

∴△AEN是等腰直角三角形

AE

∵△AMN∽△BME,AFE∽△BME

∴△AMN∽△AFE

SAFE2SAMN

故④正確

故選D

練習(xí)冊系列答案
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1)命題:P(03)是拋物線的“好”點.該命題是_____ 真或假)命題.

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A.(1,2)

B.(9,18)

C.(9,18)或(9,18)

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