【題目】如圖,在坡頂B處的同一水平面上有一座紀(jì)念碑CD垂直于水平面,小明在斜坡底A處測得該紀(jì)念碑頂部D的仰角為45°,然后他沿著坡比i=5:12的斜坡AB攀行了39米到達(dá)坡頂,在坡頂B處又測得該紀(jì)念碑頂部的仰角為68°.求坡頂B到地面AE的距離和紀(jì)念碑CD的高度.(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin68°=0.9,cos68°=0.4,tan68°=2.5)

【答案】解:過點(diǎn)B作BG⊥AE,垂足為點(diǎn)G,如圖.
∵i=tan∠BAG= =5:12,
∴設(shè)BG=5k,則AG=12k,
在Rt△BAG中,由勾股定理得,AB=13k,
∴13k=39,解得k=3,
∴BG=15,
∴坡頂B到AE的距離為15米.
延長DC交AE于點(diǎn)F,
∵BC⊥DC,BC∥AE,
∴DF⊥AE,
∴四邊形BCFG是矩形,CF=BG=15,BC=GF,
∵∠DAF=45°,
∴AF=DF,
設(shè)DC=x,則AF=36+GF,DF=x+15,即x+15=35+GF,
∴BC=GF=x﹣21,
在Rt△DBC中,tan∠DBC= ,即 ≈2.5,
解得x≈35,
答:坡頂B到地面AE的距離為15米,紀(jì)念碑CD的高度約為35米.

【解析】過點(diǎn)B作BG⊥AE,垂足為點(diǎn)G,如圖.根據(jù)已知條件得到設(shè)BG=5k,則AG=12k,在Rt△BAG中,由勾股定理得,AB=13k,得到BG=15,于是得到坡頂B到AE的距離為15米.延長DC交AE于點(diǎn)F,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DF⊥AE,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AF=DF,設(shè)DC=x,則AF=36+GF,DF=x+15,得到BC=GF=x﹣21,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了關(guān)于坡度坡角問題和關(guān)于仰角俯角問題的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比).用字母i表示,即i=h/l.把坡面與水平面的夾角記作A(叫做坡角),那么i=h/l=tanA;仰角:視線在水平線上方的角;俯角:視線在水平線下方的角才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】給出下面兩個定理:

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等;

到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

應(yīng)用上述定理進(jìn)行如下推理:

如圖,直線l是線段MN的垂直平分線.

點(diǎn)A在直線l,AM=AN.(  )

BM=BN,點(diǎn)B在直線l.(  )

CMCN,點(diǎn)C不在直線l.

這是如果點(diǎn)C在直線l,那么CM=CN, (  )

這與條件CMCN矛盾.

以上推理中各括號內(nèi)應(yīng)注明的理由依次是 (  )

A. ②①① B. ②①②

C. ①②② D. ①②①

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【題目】今年我區(qū)的葡萄喜獲豐收,葡萄一上市,水果店的王老板用2400元購進(jìn)一批葡萄,很快售完;老板又用5000元購進(jìn)第二批葡萄,所購件數(shù)是第一批的2倍,但進(jìn)價比第一批每件多了5元.

(1)第一批葡萄每件進(jìn)價多少元?

(2)王老板以每件150元的價格銷售第二批葡萄,售出80%后,為了盡快售完,決定打折促銷,要使第二批葡萄的銷售利潤不少于640元,剩余的葡萄每件售價最少打幾折?(利潤=售價-進(jìn)價)

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【題目】如圖,矩形ABCD中,BC=4,以頂點(diǎn)A,B為圓心,以AD、BC長為半徑作兩條弧,兩弧相切于點(diǎn)E,且E在AB上,以AB為直徑作半圓恰好與DC相切,則圖中陰影部分的面積為

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【題目】某校組織七年級全體學(xué)生舉行了漢字聽寫比賽,每位學(xué)生聽寫漢字39個,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的聽寫結(jié)果,繪制成如下的圖表.

組別

正確字?jǐn)?shù)x

人數(shù)

A

0≤x<8

10

B

8≤x<16

15

C

16≤x<24

25

D

24≤x<32

m

E

32≤x<40

n

根據(jù)以上信息完成下列問題:

(1)由統(tǒng)計表可知m+n=   ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.

(2)扇形統(tǒng)計圖中“C所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是   

(3)已知該校七年級共有900名學(xué)生,如果聽寫正確的字的個數(shù)少于24個定為不合格,請你估計該年級本次聽寫比賽不合格的學(xué)生人數(shù).

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【題目】長江是我們的母親河,金港新區(qū)為了打造沿江風(fēng)景,吸引游客搞活經(jīng)濟(jì),將一段長為180米的沿江河道整治任務(wù)交由A、B兩工程隊(duì)先后接力完成.A工作隊(duì)每天整治12米,B工程隊(duì)每天整治8米,共用時20天.求A、B兩工程隊(duì)分別整治河道多少米?

⑴根據(jù)題意,七⑴班甲同學(xué)列出尚不完整的方程組如下。根據(jù)甲同學(xué)所列的方程組,請你分別指出未知數(shù)xy表示的意義,然后在方框中補(bǔ)全甲同學(xué)所列的方程組;

x表示________________________,y表示_________________________

⑵如果乙同學(xué)直接設(shè)A工程隊(duì)整治河道的米數(shù)為x,B工程隊(duì)整治河道的米數(shù)為y,列出了一個方程組,求A、B兩工程隊(duì)分別整治河道多少米.請你幫助他寫出完整的解答過程。

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x、y均為整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn),若一個多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L,例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形,對應(yīng)的S=1,N=0,L=4.

(1)求出圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L

(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=N+aL+b,其中ab為常數(shù),若某格點(diǎn)多邊形對應(yīng)的N=82,L=38,求S的值.

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【題目】定義:四條邊都相等且四個角都是直角的四邊形叫做正方形。我校快樂走班數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動,過程如下:如圖①,正方形ABCD中,AB=6,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合.三角板的一邊交AB于點(diǎn)P,另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q.

(1)求證:DP=DQ;

(2)如圖②,小明在圖1的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DEBC于點(diǎn)E,連接PE,他發(fā)現(xiàn)PEQE存在一定的數(shù)量關(guān)系,請猜測他的結(jié)論并予以證明;

(3)如圖③,固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動,轉(zhuǎn)動三角板,使三角板的一邊交AB的延長線于點(diǎn)P,另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q,仍作∠PDQ的平分線DEBC延長線于點(diǎn)E,連接PE,若AB:AP=3:4,請幫小明算出DEP的面積.

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【題目】如圖,已知ABCD,CE、BE的交點(diǎn)為E,現(xiàn)作如下操作:

第一次操作,分別作∠ABE和∠DCE的平分線,交點(diǎn)為E1,

第二次操作,分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線,交點(diǎn)為E2,

第三次操作,分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線,交點(diǎn)為E3,…,

n次操作,分別作∠ABEn1和∠DCEn1的平分線,交點(diǎn)為En.

(1)如圖①,求證:∠BEC=ABE+DCE;

(2)如圖②,求證:∠BE2C=BEC;

(3)猜想:若∠En度,那∠BEC等于多少度?(直接寫出結(jié)論).

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