Question

（本小題滿分12分）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片△ABC和△DEF．將這兩張三角形膠片的頂點B與頂點E重合，把△DEF繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點O．

（1）當△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點B（E），C、D在同一直線上時，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是 ．

（2）當△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

（3）在圖③中，連接BO、AD，探索BO與AD之間有怎樣的位置關(guān)系，并證明．

 

Answer 1

（1）∠AFD=∠DCA；（2）成立，理由見試題解析；（3）BO⊥AD，理由見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）要證∠AFD=∠DCA，只需證△ABC≌△DEF即可；

（2）結(jié)論成立，先證△ABC≌△DEF，再證△ABF≌△DEC，得∠BAF=∠EDC，推出∠AFD=∠DCA；

（3）BO⊥AD，由△ABC≌△DEF得BA=BD，點B在AD的垂直平分線上，且∠BAD=∠BDA，繼而證得∠OAD=∠ODA，OA=OD，點O在AD的垂直平分線上，即BO⊥AD．

試題解析：（1）∠AFD=∠DCA．

∵AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴∠AFD=∠DCA；

（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：由△ABC≌△DEF，得：AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，∴∠ABC﹣∠FBC=∠DEF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠DEC，

在△ABF和△DEC中，∵AB=DE，∠ABF=∠DEC，BF=EC，∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC，

∴∠BAC﹣∠BAF=∠EDF﹣∠EDC，∠FAC=∠CDF，

∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，∴∠AFD=∠DCA；

（3）如圖，BO⊥AD．

由△ABC≌△DEF，點B與點E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD，∴點B在AD的垂直平分線上，且∠BAD=∠BDA，∵∠OAD=∠BAD﹣∠BAC，∠ODA=∠BDA﹣∠BDF，∴∠OAD=∠ODA，∴OA=OD，點O在AD的垂直平分線上，∴直線BO是AD的垂直平分線，即BO⊥AD．

考點：1．全等三角形的判定；2．平行四邊形的性質(zhì)．