【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+4與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,點P是拋物線上的一個動點且在第一象限,過點P作x軸的垂線,垂足為D,交直線BC于點E.
(1)求點A、B、C的坐標和直線BC的解析式;
(2)求△ODE面積的最大值及相應(yīng)的點E的坐標;
(3)是否存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似?若存在,請求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(﹣2,0)、B(2,0)、C(0,4),y=﹣2x+4.(2)△ODE的面積有最大值1.點E的坐標為(1,2).(3)(-1,2-2),(, ).
【解析】試題分析:(1)在拋物線解析式y=﹣x2+4中,令y=0,解方程可求得點A、點B的坐標;令x=0,可求得頂點C的坐標.已知點B、C的坐標,利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式。
(2)求出△ODE面積的表達式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值,并確定點E的坐標。
(3)本問為存在型問題.因為△OAC與△OPD都是直角三角形,需要分類討論:
①當△PDO∽△COA時,由得PD=2OD,列方程求出點P的坐標;
②當△PDO∽△AOC時,由得OD=2PD,列方程求出點P的坐標。
解:(1)在y=﹣x2+4中,當y=0時,即﹣x2+4=0,解得x=±2;
當x=0時,即y=0+4,解得y=4。
∴點A、B、C的坐標分別為A(﹣2,0)、B(2,0)、C(0,4)。
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),
則,解得。
∴直線BC的解析式為y=﹣2x+4。
(2)∵點E在直線BC上,∴設(shè)點E的坐標為(x,﹣2x+4)。
∴△ODE的面積S可表示為:。
∴當x=1時,△ODE的面積有最大值1。
此時,﹣2x+4=﹣2×1+4=2,∴點E的坐標為(1,2)。
(3)存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似。理由如下:
設(shè)點P的坐標為(x,﹣x2+4),0<x<2.
因為△OAC與△OPD都是直角三角形,分兩種情況:
①當△PDO∽△COA時,,即,
解得(不符合題意,舍去)。
當時,。
∴此時,點P的坐標為。
②當△PDO∽△AOC時,,,
解得(不符合題意,舍去)。
當時,。
∴此時,點P的坐標為。
綜上所述,滿足條件的點P有兩個:P1,P2。
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【題目】如圖,已知AM∥BN,∠A=60°.點P是射線AM上一動點(與點A不重合),BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN,分別交射線AM于點C,D.
(1)求∠CBD的度數(shù);
(2)當點P運動時,∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化?若不變化,請寫出它們之間的關(guān)系,并說明理由;若變化,請寫出變化規(guī)律.
(3)當點P運動到使∠ACB=∠ABD時,直接寫出∠ABC的度數(shù).
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【題目】(1)計算:(﹣2)﹣1﹣|﹣|+(﹣1)0+cos45°.
(2)已知m2﹣5m﹣14=0,求(m﹣1)(2m﹣1)﹣(m+1)2+1的值.
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【題目】如圖,已知A,B兩點在數(shù)軸上,點A在原點O的左邊,表示的數(shù)為﹣10,點B在原點的右邊,且BO=3AO.點M以每秒3個單位長度的速度從點A出發(fā)向右運動.點N以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)向右運動(點M,點N同時出發(fā)).
(1)數(shù)軸上點B對應(yīng)的數(shù)是 ,點B到點A的距離是 ;
(2)經(jīng)過幾秒,原點O是線段MN的中點?
(3)經(jīng)過幾秒,點M,N分別到點B的距離相等?
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【題目】已知在矩形ABCD中,∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點E,點P是線段DE上一定點(其中EP<PD)
(1)如圖1,若點F在CD邊上(不與D重合),將∠DPF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G.
①求證:PG=PF;
②探究:DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)拓展:如圖2,若點F在CD的延長線上(不與D重合),過點P作PG⊥PF,交射線DA于點G,你認為(1)中DE、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,請寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式,并說明理由.
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【題目】如圖1,直線與雙曲線交于、兩點,與軸交于點,與軸交于點,已知點、點.
(1)求直線和雙曲線的解析式;
(2)將沿直線翻折,點落在第一象限內(nèi)的點處,直接寫出點的坐標;
(3)如圖2,過點作直線交軸的負半軸于點,連接交軸于點,且的面積與的面積相等.
①求直線的解析式;
②在直線上是否存在點,使得?若存在,請直接寫出所有符合條件的點的坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】(2011貴州安順,17,4分)已知:如圖,O為坐標原點,四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點D是OA的中點,點P在BC上運動,當△ODP是腰長為5的等腰三角形時,則P點的坐標為 .
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【題目】為預防傳染病,某校定期對教室進行“藥熏消毒”.已知藥物燃燒階段,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 與藥物在空氣中的持續(xù)時間成正比例;燃燒后,與成反比例(如圖所示).現(xiàn)測得藥物分鐘燃完,此時教室內(nèi)每立方米空氣含藥量為.根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)分別求出藥物燃燒時及燃燒后 關(guān)于的函數(shù)表達式.
(2)當每立方米空氣中的含藥量低于 時,對人體方能無毒害作用,那么從消毒開始,在哪個時段消毒人員不能停留在教室里?
(3)當室內(nèi)空氣中的含藥量每立方米不低于 的持續(xù)時間超過分鐘,才能有效殺滅某種傳染病毒.試判斷此次消毒是否有效,并說明理由.
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【題目】如圖1,在ABC中,∠A=80°,BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB,BD與CE交于點F.
(1)求∠BFC的度數(shù);
(2)如圖2,EG、DG分別平分∠AEF、∠ADF, EG與DG交于點G ,求∠EGD的度數(shù).
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