Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x²-（m-1）x+m+4=0的兩根，
（1）求a和b的值；
（2）△A′B′C′與△ABC開始時完全重合，然后讓△ABC固定不動，將△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿BC所在的直線向左移動．
ⅰ）設(shè)x秒后△A′B′C′與△ABC 的重疊部分的面積為y平方厘米，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
ⅱ）幾秒后重疊部分的面積等于

3

8

平方厘米？

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式、勾股定理列出有關(guān)m的方程后求得m的值，代入方程求得方程的兩根后即可求得a和b的值；
（2）x秒后BB′=x，得到B′C′=4-x，利用C′M∥AC得到△BC′M∽△BCA，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式后用x表示出MC′后利用三角形的面積公式表示出函數(shù)關(guān)系式，最后代入y=

3

8

后求得x的值即可．

解答：解：（1）∵三角形ABC是直角三角形，且AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x²-（m-1）x+m+4=0的兩根，
∴

△=(m-1)2-4(m+4)＞0 a+b=m+1＞0 ab=m+4＞0 a2+b2=25

∴（a+b）²-2ab=25
即：（m-1）²-2（m+4）=25
因式分解得（m-8）（m+4）=0
解得：m=8或m=-4（舍去）
∴m=8
∴方程為x²-7x+12=0
解得：x=3或x=4
∴a=4，b=3

（2）�。�∵△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿BC所在的直線向左移動，
∴x秒后BB′=x
則B′C′=4-x，
∵C′M∥AC
∴△BC′M∽△BCA
∴

BC′

BC

=

MC′

AC

∴MC′=

3

4

（4-x）
∴S_△BCM=y=

1

2

（4-x）×

3

4

（4-x）=

3

8

x2-3x+6（0≤x≤4）
ⅱ）當(dāng)y=

3

8

時，

3

8

x2-3x+6=

3

8

解得：x=3或x=5（不合題意）
∴3秒后重疊部分的面積等于

3

8

平方厘米．

點評：本題考查了相似三角形的綜合知識，特別是動點問題更是中考的熱點考題之一，應(yīng)加強訓(xùn)練．