Question

如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE=2DE，延長DE到點F，使得EF=BE，連接CF．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CE=6，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面積；
（3）若EC=9-m，BF=m-1（1＜m＜9），求菱形BCFE面積的最大值．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）從所給的條件可知，DE是△ABC中位線，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因為BE=FE，所以四邊形BCFE是菱形；
（2）∠BCF是120°，所以∠EBC為60°，所以菱形的邊長也為6，求出菱形的高面積就可求；
（3）由菱形的面積=

1

2

EC•BF列出函數(shù)關系式，利用配方法求得二次函數(shù)最值即可．

解答：（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE∥BC，且BC=2DE，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
又∵BE=FE，
∴四邊形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BCF=120°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等邊三角形，
∴菱形的邊長為6，高為3

3

，
∴菱形的面積為6×3

3

=18

3

；

（3）解：設菱形BCFE面積為S，則
S=

1

2

EC•BF=

1

2

（9-m）（m-1）=-

1

2

（m-5）²+8．
∵該拋物線的開口方向向下，且1＜m＜9，
∴當m=5時，該拋物線的最大值是8．
答：菱形BCFE面積的最大值是8．

點評：本題考查菱形的判定和性質以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計算等知識點．