Question

如圖，AE是⊙O直徑，D是⊙O上一點，連結AD并延長使AD=DC，連結CE交⊙O于點B，連結AB．過點E的直線與AC的延長線交于點F，且∠F=∠CED．
（1）求證：EF是⊙O切線；
（2）若CD=CF=2，求BE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）根據圓周角定理由AE是⊙O直徑得到∠ADE=90°，而AD=DC，根據等腰三角形的判定方法得到EA=EC，則∠AED=∠CED，由于∠F=∠CED，所以∠AED=∠F，易得∠F+∠EAD=90°，即∠AEF=90°，然后根據切線的判定定理即可得到EF是⊙O切線；
（2）根據相似三角形的判定方法得到△ADE∽△AEF，利用相似比可計算出AE=2

3

，則CE=AE=2

3

，在Rt△ADE中，利用勾股定理計算出DE=2

2

，
再由AE是⊙O直徑得到∠ABE=90°，則根據面積法得到

1

2

CE•AB=

1

2

DE•AC，則可計算出AB=

4 6

3

，然后在Rt△ABE中，根據勾股定理計算BE．

解答：（1）證明：∵AE是⊙O直徑，
∴∠ADE=90°，
∴ED⊥AC，
∵AD=DC，
∴EA=EC，
∴∠AED=∠CED，
∵∠F=∠CED，
∴∠AED=∠F，
而∠AED+∠EAD=90°，
∴∠F+∠EAD=90°，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴EF是⊙O切線；
（2）∵CD=CF=2，
∴AD=CD=CF=2，
∵∠ADE=∠AEF，∠DAE=∠EAF，
∴△ADE∽△AEF，
∴AE：AF=AD：AE，即AE：6=2：AE，
∴AE=2

3

，
∴CE=AE=2

3

，
在Rt△ADE中，DE=

AE2-AD2

=

(2 3 )2-22

=2

2

，
∵AE是⊙O直徑，
∴∠ABE=90°，
∴

1

2

CE•AB=

1

2

DE•AC，
∴AB=

2 2 ×4

2 3

=

4 6

3

，
在Rt△ABE中，BE=

AE2-AB2

=

2 3

3

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質和勾股定理．