Question

【題目】如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將直線在x軸下方的部分沿x軸翻折，得到一個(gè)新函數(shù)的圖象（圖中的“V形折線”）．

（1）類比研究函數(shù)圖象的方法，請列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì)，并求新函數(shù)的解析式；

（2）如圖2，雙曲線y=與新函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C（1，a），點(diǎn)D是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過點(diǎn)D作x軸的平行線，與新函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)E，與雙曲線交于點(diǎn)P．

①試求△PAD的面積的最大值；

②探索：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形PAEC能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①函數(shù)的最小值為0；②函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-3；新函數(shù)的解析式為y= ；（2）△PAD的面積的最大值為；②在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形PAEC不能為平行四邊形．理由見解析.

【解析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象可寫出新函數(shù)的兩條性質(zhì)；求新函數(shù)的解析式，可分兩種情況進(jìn)行討論：①x≥-3時(shí)，顯然y=x+3；②當(dāng)x＜-3時(shí)，利用待定系數(shù)法求解；

（2）①先把點(diǎn)C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式為y=．由點(diǎn)D是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m+3），且-3＜m＜1，那么P（，m+3），PD=-m，再根據(jù)三角形的面積公式得出△PAD的面積為S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

②先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，再計(jì)算DP，DE的長度，如果DP=DE，那么根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形PAEC為平行四邊形；如果DP≠DE，那么不是平行四邊形．

試題解析：（1）如圖1，均是正整數(shù)新函數(shù)的兩條性質(zhì)：①函數(shù)的最小值為0；

②函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-3；

由題意得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）．分兩種情況：

①x≥-3時(shí)，顯然y=x+3；

②當(dāng)x＜-3時(shí)，設(shè)其解析式為y=kx+b．

在直線y=x+3中，當(dāng)x=-4時(shí)，y=-1，

則點(diǎn)（-4，-1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（-4，1）．

把（-4，1），（-3，0）代入y=kx+b，

得

解得

∴y=-x-3．

綜上所述，新函數(shù)的解析式為y= ；

（2）如圖2，

①∵點(diǎn)C（1，a）在直線y=x+3上，

∴a=1+3=4．

∵點(diǎn)C（1，4）在雙曲線y=上，

∴k=1×4=4，y=．

∵點(diǎn)D是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），

∴可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m+3），且-3＜m＜1．

∵DP∥x軸，且點(diǎn)P在雙曲線上，

∴P（，m+3），

∴PD=-m，

∴△PAD的面積為

S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，

∵a=-＜0，

∴當(dāng)m=-時(shí)，S有最大值，為，

又∵-3＜-＜1，

∴△PAD的面積的最大值為；

②在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形PAEC不能為平行四邊形．理由如下：

當(dāng)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)時(shí)，其坐標(biāo)為（-1，2），此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，2），

∵DP=3，DE=4，

∴EP與AC不能互相平分，

∴四邊形PAEC不能為平行四邊形．