【題目】已知菱形ABCD的邊長為1.∠ADC=60°,等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F.
(1)特殊發(fā)現(xiàn):如圖1,若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn).求證:菱形ABCD對角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心;
(2)若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動.記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P.
①猜想驗(yàn)證:如圖2.猜想△AEF的外心P落在哪一直線上,并加以證明;
②拓展運(yùn)用:如圖3,當(dāng)△AEF面積最小時,過點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M,交邊DC的延長線于點(diǎn)N,試判斷是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1)略;(2)外心P一定落在直線DB上;2.
【解析】
試題(1)連接OE、OF,根據(jù)菱形得出AC⊥BD,BD平分∠ADC,AO=DC=BC,則∠COD=∠COB=∠AOD=90°,∠ADO=30°,根據(jù)E、F分別為中點(diǎn)得出OE=OF=OA,即外心;(2)分別連接PE、PA,過點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,則∠PIE=∠PJD=90°,∠ADC=60°,∠IPJ=120°,根據(jù)點(diǎn)P是等邊△AEF的外心得到∠EPA=120°,PE=PA,從而說明△PIE≌△PJA,即PI=PJ,從而得出結(jié)論;當(dāng)AE⊥DC時.△AEF面積最小,此時點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn),連接BD、AC交于點(diǎn)P,由(1)可得點(diǎn)P即為△AEF的外心,設(shè)DM=x,DN=y則CN=y-1,根據(jù)BC∥DA得到△GBP≌△MDP,則BG=DM=x,CG=1-x,根據(jù)BC∥DA得到△GBP∽△NDM則,即從而得出結(jié)論.
試題解析:(1)證明:如圖1,分別連接OE、0F,
∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BD平分∠ADC.AO=DC=BC
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°, ∠ADO=∠ADC=×60°=30°
又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn),∴OE=CD,OF=BC,AO=AD
∴0E=OF=OA ∴點(diǎn)O即為△AEF的外心。
(2)①猜想:外心P一定落在直線DB上。證明如下:
如圖2,分別連接PE、PA,過點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,
∴∠PIE=∠PJD=90° ∵∠ADC=60°,
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°,
∵點(diǎn)P是等邊△AEF的外心, ∴∠EPA=120°,PE=PA ∴∠IPJ=∠EPA。
∴∠IPE=∠JPA,∴△PIE≌△PJA(AAS) ∴PI=PJ ∴點(diǎn)P在∠ADC的平分線上,即點(diǎn)P落在直線DB上
②為定值2
當(dāng)AE⊥DC時.△AEF面積最小,此時點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn).
連接BD、AC交于點(diǎn)P,由(1)可得點(diǎn)P即為△AEF的外心 如圖3.設(shè)MN交BC于點(diǎn)G,
設(shè)DM=x,DN=y(x≠0.y≠O),則CN=y-1 ∵BC∥DA,∴△GBP≌△MDP
∴BG=DM=x. ∴CG=1-x ∵BC∥DA,∴△GBP∽△NDM
∴,即∴x+y=2xy ∴,即=2。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著手機(jī)普及率的提高,有些人開始過分依賴手機(jī),一天中使用手機(jī)時間過長而形成了“手機(jī)癮”,某校學(xué)生會為了了解本校初三年級的手機(jī)使用情況,隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的手機(jī)使用時間,將調(diào)查結(jié)果分成五類:
A、基本不用;B、平均每天使用1~2h;C、平均每天使用2~4h;D、平均每天使用4~6h;E、平均每天使用超過6h,并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)學(xué)生會一共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)此次調(diào)查的學(xué)生中屬于E類的學(xué)生有 人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若一天中手機(jī)使用時間超過6h,則患有嚴(yán)重的“手機(jī)癮”,該校初三學(xué)生共有900人,請估計該校初三年級中患有嚴(yán)重的“手機(jī)癮”的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)y=(n為常數(shù),且n≠0)的圖象在第二象限交于點(diǎn)C.CD⊥x軸,垂足為D,若OB=2OA=3OD=12.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)記兩函數(shù)圖象的另一個交點(diǎn)為E,求△CDE的面積;
(3)直接寫出不等式kx+b≤的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市對今年“元旦”期間銷售A、B、C三種品牌的綠色雞蛋情況進(jìn)行了統(tǒng)計,并繪制如圖所示的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)該超市“元旦”期間共銷售 個綠色雞蛋,A品牌綠色雞蛋在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的扇形圓心角是 度;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)如果該超市的另一分店在“元旦”期間共銷售這三種品牌的綠色雞蛋1500個,請你估計這個分店銷售的B種品牌的綠色雞蛋的個數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,,連結(jié)AC,過點(diǎn)C作直線l∥AB,點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn),直線PA與⊙O交于另一點(diǎn)D,連結(jié)CD,設(shè)直線PB與直線AC交于點(diǎn)E.
(1)求∠BAC的度數(shù);
(2)當(dāng)點(diǎn)D在AB上方,且CD⊥BP時,求證:PC=AC;
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中
①當(dāng)點(diǎn)A在線段PB的中垂線上或點(diǎn)B在線段PA的中垂線上時,求出所有滿足條件的∠ACD的度數(shù);
②設(shè)⊙O的半徑為6,點(diǎn)E到直線l的距離為3,連結(jié)BD,DE,直接寫出△BDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,(n+1)個邊長為2的等邊三角形△B1AC1,△B2C1C2、△B2C2C3,…,△Bn+1CnCn+1有一條邊在同一直線上,設(shè)△B2D1C1的面積為S1,△B3D2C2的面積為S2,△B4D3C3的面積為S3,…,△Bn+1DnCn的面積為Sn,則S2016=___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長:中華漢字,寓意深廣,為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團(tuán)委組織了一次全校3000名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績均不低于50分.為了更好地了解本次大賽的成績分布情況,隨機(jī)抽取了其中200名學(xué)生的成績(成績x取整數(shù),總分100分)作為樣本進(jìn)行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計圖表:
成績x/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 20 | 0.10 |
70≤x<80 | 30 | b |
80≤x<90 | a | 0.30 |
90≤x≤100 | 80 | 0.40 |
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)a=______,b=______;
(2)請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這次比賽成績的中位數(shù)會落在_____________分?jǐn)?shù)段;
(4)若成績在90分以上(包括90分)的為“優(yōu)”等,則該校參加這次比賽的3000名學(xué)生中成績“優(yōu)”等約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),決定開設(shè)以下體育課外活動項(xiàng)目:A:籃球 B:乒乓球C:羽毛球 D:足球,為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有 人;
(2)請你將條形統(tǒng)計圖(2)補(bǔ)充完整;
(3)在平時的乒乓球項(xiàng)目訓(xùn)練中,甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加乒乓球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹狀圖或列表法解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,對于任意實(shí)數(shù),,當(dāng)時,滿足的是( 。
A. y=﹣3x+2 B. y=2x+1 C. y=2x2+1 D. y=﹣
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