【題目】已知菱形ABCD的邊長為1.∠ADC60°,等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F

1)特殊發(fā)現(xiàn):如圖1,若點(diǎn)EF分別是邊DC、CB的中點(diǎn).求證:菱形ABCD對角線ACBD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心;

2)若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動.記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P

猜想驗(yàn)證:如圖2.猜想△AEF的外心P落在哪一直線上,并加以證明;

拓展運(yùn)用:如圖3,當(dāng)△AEF面積最小時,過點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M,交邊DC的延長線于點(diǎn)N,試判斷是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

【答案】(1)略;(2)外心P一定落在直線DB上;2.

【解析】

試題(1)連接OEOF,根據(jù)菱形得出AC⊥BD,BD平分∠ADC,AO=DC=BC,則∠COD=∠COB=∠AOD=90°,∠ADO=30°,根據(jù)E、F分別為中點(diǎn)得出OE=OF=OA,即外心;(2)分別連接PE、PA,過點(diǎn)P分別作PI⊥CDI,PJ⊥ADJ,則∠PIE=∠PJD=90°∠ADC=60°,∠IPJ=120°,根據(jù)點(diǎn)P是等邊△AEF的外心得到∠EPA=120°,PE=PA,從而說明△PIE≌△PJA,即PI=PJ,從而得出結(jié)論;當(dāng)AE⊥DC時.△AEF面積最小,此時點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn),連接BDAC交于點(diǎn)P,由(1)可得點(diǎn)P即為△AEF的外心,設(shè)DM=x,DN=yCN=y1,根據(jù)BC∥DA得到△GBP≌△MDP,則BG=DM=x,CG=1x,根據(jù)BC∥DA得到△GBP∽△NDM,即從而得出結(jié)論.

試題解析:(1)證明:如圖1,分別連接OE0F,

四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BD平分∠ADCAO=DC=BC

∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°, ∠ADO=∠ADC=×60°=30°

∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn),∴OE=CD,OF=BC,AO=AD

∴0E=OF=OA ∴點(diǎn)O即為△AEF的外心。

2猜想:外心P一定落在直線DB上。證明如下:

如圖2,分別連接PE、PA,過點(diǎn)P分別作PI⊥CDI,PJ⊥ADJ,

∴∠PIE=∠PJD=90° ∵∠ADC=60°

∴∠IPJ=360°∠PIE∠PJD∠JDI=120°,

點(diǎn)P是等邊△AEF的外心, ∴∠EPA=120°,PE=PA ∴∠IPJ=∠EPA

∴∠IPE=∠JPA,∴△PIE≌△PJAAAS∴PI=PJ ∴點(diǎn)P∠ADC的平分線上,即點(diǎn)P落在直線DB

為定值2

當(dāng)AE⊥DC時.△AEF面積最小,此時點(diǎn)EF分別為DC、CB中點(diǎn).

連接BD、AC交于點(diǎn)P,由(1)可得點(diǎn)P即為△AEF的外心 如圖3.設(shè)MNBC于點(diǎn)G,

設(shè)DM=x,DN=yx≠0y≠O),則CN=y1 ∵BC∥DA∴△GBP≌△MDP

∴BG=DM=x∴CG=1x ∵BC∥DA,∴△GBP∽△NDM

,即∴xy=2xy ∴,即=2。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著手機(jī)普及率的提高,有些人開始過分依賴手機(jī),一天中使用手機(jī)時間過長而形成了“手機(jī)癮”,某校學(xué)生會為了了解本校初三年級的手機(jī)使用情況,隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的手機(jī)使用時間,將調(diào)查結(jié)果分成五類:

A、基本不用;B、平均每天使用1~2h;C、平均每天使用2~4h;D、平均每天使用4~6h;E、平均每天使用超過6h,并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

(1)學(xué)生會一共調(diào)查了多少名學(xué)生?

(2)此次調(diào)查的學(xué)生中屬于E類的學(xué)生有   人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;

(3)若一天中手機(jī)使用時間超過6h,則患有嚴(yán)重的“手機(jī)癮”,該校初三學(xué)生共有900人,請估計該校初三年級中患有嚴(yán)重的“手機(jī)癮”的人數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)y=(n為常數(shù),且n≠0)的圖象在第二象限交于點(diǎn)C.CD⊥x軸,垂足為D,若OB=2OA=3OD=12.

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;

(2)記兩函數(shù)圖象的另一個交點(diǎn)為E,求△CDE的面積;

(3)直接寫出不等式kx+b≤的解集.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某超市對今年元旦期間銷售AB、C三種品牌的綠色雞蛋情況進(jìn)行了統(tǒng)計,并繪制如圖所示的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息解答下列問題:

1)該超市元旦期間共銷售   個綠色雞蛋,A品牌綠色雞蛋在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的扇形圓心角是   度;

2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;

3)如果該超市的另一分店在元旦期間共銷售這三種品牌的綠色雞蛋1500個,請你估計這個分店銷售的B種品牌的綠色雞蛋的個數(shù)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,,連結(jié)AC,過點(diǎn)C作直線lAB,點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn),直線PA與⊙O交于另一點(diǎn)D,連結(jié)CD,設(shè)直線PB與直線AC交于點(diǎn)E.

(1)求∠BAC的度數(shù);

(2)當(dāng)點(diǎn)DAB上方,且CDBP時,求證:PC=AC;

(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中

①當(dāng)點(diǎn)A在線段PB的中垂線上或點(diǎn)B在線段PA的中垂線上時,求出所有滿足條件的∠ACD的度數(shù);

②設(shè)⊙O的半徑為6,點(diǎn)E到直線l的距離為3,連結(jié)BD,DE,直接寫出BDE的面積.

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【題目】如圖,(n+1)個邊長為2的等邊三角形B1AC1B2C1C2、B2C2C3,,Bn+1CnCn+1有一條邊在同一直線上,設(shè)B2D1C1的面積為S1,B3D2C2的面積為S2,B4D3C3的面積為S3,,Bn+1DnCn的面積為Sn,則S2016=___

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長:中華漢字,寓意深廣,為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團(tuán)委組織了一次全校3000名學(xué)生參加的漢字聽寫大賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績均不低于50分.為了更好地了解本次大賽的成績分布情況,隨機(jī)抽取了其中200名學(xué)生的成績(成績x取整數(shù),總分100分)作為樣本進(jìn)行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計圖表:

成績x/

頻數(shù)

頻率

50≤x60

10

0.05

60≤x70

20

0.10

70≤x80

30

b

80≤x90

a

0.30

90≤x≤100

80

0.40

請根據(jù)所給信息,解答下列問題:

1a=______b=______;

2)請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

3)這次比賽成績的中位數(shù)會落在_____________分?jǐn)?shù)段;

4)若成績在90分以上(包括90分)的為優(yōu)等,則該校參加這次比賽的3000名學(xué)生中成績優(yōu)等約有多少人?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),決定開設(shè)以下體育課外活動項(xiàng)目:A籃球 B乒乓球C羽毛球 D足球,為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請回答下列問題:

(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有   人;

(2)請你將條形統(tǒng)計圖(2)補(bǔ)充完整;

(3)在平時的乒乓球項(xiàng)目訓(xùn)練中,甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加乒乓球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹狀圖或列表法解答)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列函數(shù)中,對于任意實(shí)數(shù),,當(dāng)時,滿足的是( 。

A. y=﹣3x+2 B. y=2x+1 C. y=2x2+1 D. y=﹣

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