Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑作⊙O，BC交⊙O于點D，E是邊AC的中點，ED、AB的延長線相交于點F．

求證：（1）DE為⊙O的切線.

（2）AB•DF=AC•BF．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）證△ABD∽△CAD，推出，證△FAD∽△FDB，推出，即可得出AB：AC=BF：DF．

（1）連結DO、DA，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠CDA=∠BDA=90°，

∵CE=EA，

∴DE=EA，

∴∠1=∠4，

∵OD=OA，

∴∠2=∠3，

∵∠4+∠3=90°，

∴∠1+∠2=90°，

即：∠EDO=90°，

∵OD是半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠4=∠DBA，

∵∠CDA=∠BDA=90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴，

∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，

又∵OD=OB，

∴∠BDO=∠DBO，

∴∠3=∠FDB，

∵∠F=∠F，

∴△FAD∽△FDB，

∴，

∴，

即AB：AC=BF：DF．

考點：1.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質．