【題目】(已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點(diǎn)E,交BC邊于點(diǎn)F,分別連結(jié)AF和CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長;
(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使得2AE2=AC·AP?若存在,請說明點(diǎn)P的位置,并予以證明;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)24cm;(3)存在,過E作EP⊥AD交AC于P,則P就是所求的點(diǎn),證明見解析.
【解析】
(1)由四邊形ABCD是矩形與折疊的性質(zhì),易證得△AOE≌△COF,即可得AE=CF,則可證得四邊形AFCE是平行四邊形,又由AC⊥EF,則可證得四邊形AFCE是菱形;
(2)由已知可得:S△ABF=ABBF=24cm2,則可得AB2+BF2=(AB+BF)2-2ABBF=(AB+BF)2-2×48=AF2=100(cm2),則可求得AB+BF的值,繼而求得△ABF的周長.
(3)過E作EP⊥AD交AC于P,則P就是所求的點(diǎn),首先證明四邊形AFCE是菱形,然后根據(jù)題干條件證明△AOE∽△AEP,列出關(guān)系式.
解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,
由折疊的性質(zhì)可得:OA=OC,AC⊥EF,
在△AOE和△COF中,
∵,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF,
∴四邊形AFCE是平行四邊形,
∵AC⊥EF,
∴四邊形AFCE是菱形;
(2)∵四邊形AFCE是菱形,
∴AF=AE=10cm,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∴S△ABF=ABBF=24cm2,
∴ABBF=48(cm2),
∴AB2+BF2=(AB+BF)2-2ABBF=(AB+BF)2-2×48=AF2=100(cm2),
∴AB+BF=14(cm)
∴△ABF的周長為:AB+BF+AF=14+10=24(cm).
(3)證明:過E作EP⊥AD交AC于P,則P就是所求的點(diǎn).
當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時,折痕EF垂直平分AC,
∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°,
∵在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF
∴四邊形AFCE是菱形.
∴∠AOE=90°,又∠EAO=∠EAP,
由作法得∠AEP=90°,
∴△AOE∽△AEP,
∴,則AE2=AOAP,
∵四邊形AFCE是菱形,
∴AO=AC,
∴AE2=ACAP,
∴2AE2=ACAP.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊AB,CD上,AD∥EF∥BC,EF與BD交于點(diǎn)G,AD=5,BC=10,=.
(1)求EF的長;
(2)設(shè)=,=,那么= ,= .(用向量、表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:將函數(shù)l的圖象繞點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°,得到新的函數(shù)l'的圖象,我們稱函數(shù)l'是函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù).
例如:當(dāng)m=1時,函數(shù)y=(x+1)2+5關(guān)于點(diǎn)P(1,0)的相關(guān)函數(shù)為y=﹣(x﹣3)2﹣5.
(1)當(dāng)m=0時
①一次函數(shù)y=x﹣1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為 ;
②點(diǎn)(,﹣)在二次函數(shù)y=﹣ax2﹣ax+1(a≠0)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上,求a的值.
(2)函數(shù)y=(x﹣1)2+2關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)y=﹣(x+3)2﹣2,則m= ;
(3)當(dāng)m﹣1≤x≤m+2時,函數(shù)y=x2﹣mx﹣m2關(guān)于點(diǎn)P(m,0)的相關(guān)函數(shù)的最大值為6,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC為格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)).
(1)將△ABC向上平移2個單位得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1;
(2)將△ABC繞著某點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后,得到△A2B2C2,請畫出旋轉(zhuǎn)中心O,并直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中,線段AB掃過的區(qū)域的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,自左至右,第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等邊三角形組成;第2個圖由2個正六邊形、11個正方形和10個等邊三角形組成;第3個圖由3個正六邊形、16個正方形和14個等邊三角形組成;…,按照此規(guī)律,第n個圖中正方形和等邊三角形的個數(shù)之和為( )個.
A.9nB.6nC.9n+3D.6n+3
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【題目】“單詞的記憶效率”是指復(fù)習(xí)一定量的單詞,一周后能正確默寫出的單詞個數(shù)與復(fù)習(xí)的單詞個數(shù)的比值.右圖描述了某次單詞復(fù)習(xí)中四位同學(xué)的單詞記憶效率與復(fù)習(xí)的單詞個數(shù)的情況,則這四位同學(xué)在這次單詞復(fù)習(xí)中正確默寫出的單詞個數(shù)最多的是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠MAN=30°,在射線AN上取一點(diǎn)B,使AB=4 cm,過點(diǎn)B作BC⊥AM于點(diǎn)C,點(diǎn)D為邊AB上的動點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A,點(diǎn)B重合),連接CD,過點(diǎn)D作ED⊥CD交直線AC于點(diǎn)E.在點(diǎn)D由點(diǎn)A到點(diǎn)B運(yùn)動過程中,設(shè)AD=x cm,AE=y cm.
(1)取指定點(diǎn)作圖,根據(jù)下面表格預(yù)填結(jié)果,先通過作圖確定AD=2 cm時,點(diǎn)E的位置,測量AE的長度.
①根據(jù)題意,在答題卡上補(bǔ)全圖形;
②把表格補(bǔ)充完整:通過取點(diǎn)、畫圖、測量,得到了x與y的幾組對應(yīng)值,如表:
x/cm | … | 1 | 2 | 3 | … | ||||
y cm | … | 0.4 | 0.8 | 1.0 | m | 1.0 | 0 | 4.0 | … |
則m=______(結(jié)果保留一位小數(shù)).
(2)在下面的平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出以補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:當(dāng)AE=AD時,AD的長度約為______cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖顯示了用計算機(jī)模擬隨機(jī)拋擲一枚硬幣的某次實驗的結(jié)果
下面有三個推斷:
①當(dāng)拋擲次數(shù)是100時,計算機(jī)記錄“正面向上”的次數(shù)是47,所以“正面向上”的概率是0.47;
②隨著試驗次數(shù)的增加,“正面向上”的頻率總在0.5附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計“正面向上”的概率是0.5;
③若再次用計算機(jī)模擬此實驗,則當(dāng)拋擲次數(shù)為150時,“正面向上”的頻率一定是0.45.
其中合理的是( )
A.①B.②C.①②D.①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從共享單車,共享汽車等共享出行到共享充電寶,共享雨傘等共享物品,各式各樣的共享經(jīng)濟(jì)模式在各個領(lǐng)域迅速普及應(yīng)用,越來越多的企業(yè)與個人成為參與者與受益者.小宇和小強(qiáng)分別對共享經(jīng)濟(jì)中的“共享出行”和“共享知識”最感興趣,他們上網(wǎng)查閱了相關(guān)資料,順便收集到四個共享經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的圖標(biāo),并將其制成編號為,,,的四張卡片(除編號和內(nèi)容外,其余完全相同)他們將這四張卡片背面朝上,洗勻放好,從中隨機(jī)抽取一張(不放回),再從中隨機(jī)抽取一張,請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的概率(這四張卡片分別用它們的編號,,,表示)
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