Question

如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∠APB=60°，連接AO，BO．
（1）

AB

所對(duì)的圓心角∠AOB=

 

；
（2）求證：PA=PB；
（3）若OA=3，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可以證得∠OAP=∠OBP=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求解；
（2）證明直角△OAP≌直角△OBP，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得；
（3）首先求得△OPA的面積，即求得四邊形OAPB的面積，然后求得扇形OAB的面積，即可求得陰影部分的面積．

解答：（1）解：∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°；

（2）證明：連接OP．
在Rt△OAP和Rt△OBP中，

OA=OB OP=OP

，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB；

（3）解：∵Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴∠OPA=∠OPB=

1

2

∠APB=30°，
在Rt△OAP中，OA=3，
∴AP=3

3

，
∴S_△OPA=

1

2

×3×3

3

=

9 3

2

，
∴S_陰影=2×

9 3

2

-

120π×32

360

=9

3

-3π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．