Question

先完成填空，再按要求答題：
（1）計算：（只要求填寫最后結(jié)果）sin²30°+cos²30°=

 

；sin²45°+cos²45°=

 

；sin²60°+cos²60°=

 

；…觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin²A+cos²A=

 

．
（2）如圖，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對∠A證明你的猜想；
（3）已知0°＜∠A＜90°且sinA•cosA=

12

25

，求sinA+cosA的值．

Answer 1

考點：解直角三角形,勾股定理,特殊角的三角函數(shù)值

專題：

分析：（1）將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可求出其值；由前面的結(jié)論，即可猜想出：對任意銳角A，都有sin²A+cos²A=1；
（2）過點B作BH⊥AC于H，則∠AHB=90°．利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=

BH

AB

，cosA=

AH

AB

，則sin²A+cos²A=

BH2+AH2

AB2

，再根據(jù)勾股定理得到BH²+AH²=AB²，從而證明sin²A+cos²A=1；
（2）利用關(guān)系式sin²A+cos²A=1，結(jié)合已知條件0°＜∠A＜90°且sinA•cosA=

12

25

，進(jìn)行求解．

解答：解：（1）sin²30°+cos²30°=1；
sin²45°+cos²45°=1；
sin²60°+cos²60°=1；…
觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin²A+cos²A=1．

（2）如下圖，過點B作BH⊥BC于點H，BH²+AH²=AB²，
則sinA=

BH

AB

，
cosA=

AH

AB

，
所以sin²A+cos²A=

BH2

AB2

+

AH2

AB2

=

BH2+AH2

AB2

=1；

（3）∵sin²A+cos²A=1，sinA•cosA=

12

25

，
∴（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=1
∴sinA+cosA=

7

5

，
故答案為：1；1；1；1．

點評：本題考查了解直角三角形，同角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，比較簡單．