如圖①，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于O、A兩點直線y=-x+3與y軸交于B點，與該拋物線交于A，D兩點，已知點D橫坐標為-1．（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖①，在線段OA上有一動點H（不與O、A重合），過H作x軸的垂線分別交AB于P點，交拋物線于Q點，若x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，請求出H點的坐標；
（3）如圖②，在拋物線上是否存在點C，使△ABC為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
（1）y=-x+3，
當x=0時，y=3，
∴B（0，3），
把x=-1代入y=-x+3得：y=4，
∴D（-1，4），
當y=0時，0=-x+3，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵拋物線過A（3，0），O（0，0），
把D（-1，4）代入y=ax2+bx+c=a（x-0）（x-3）得：4=a（-1-0）（-1-3），
∴a=1，
∴y=（x-0）（x-3），
即拋物線的解析式是y=x2-3x．

（2）設H（x，0），
則P（x，-x+3），Q（x，x2-3x），
∴PH=-x+3，QH=3x-x2，
∵x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，
∴
PH
QH
=
1
2
或
PH
QH
=2，
即
-x+3
3x-x2
=
1
2
或
-x+3
3x-x2
=2，
解得：x1=2，x2=3（舍去），x3=3（舍去），x4=
1
2
，
∴H點的坐標是（2，0）或（
1
2
，0）．

（3）分為三種情況：
①若∠BAC=90°，設C（x，x2-3x），
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴tan∠OAC=1，
∴
x2-3x
3-x
=1，
解得：x1=1，x2=3（舍去），
∴C（1，-2）；
②若∠ABC=90°時，
∵∠OBA=45°，
∴∠OBC=45°，
設直線BC交于x軸于E，其解析式是y=kx+3，
∴OE=OB=3，
∴E（-3，0），
代入得：0=-3k+3，
∴k=1，
∴y=x+3，
解方程組
y=x+3
y=x2-3x
得：
x1=2+
7
y1=5+
7
，
x2=2-
7
y2=5-
7
，
∴C（2+
7
，5-
7
）或（2-
7
，5-
7
）；
③若∠ACB=90°時，設C（n，k），
AC2+BC2=AB2，
即（n-3）2+k2+n2+（k-3）2=18，
n2-3n+k2-3k=0，
∵k=n2-3n，
代入求出k1=0，k2=2，
∴n2-3n=0，n2-3n=2，
解得：n1=0，n2=3（舍去），n3=
3+
17
2
，n4=
3-
17
2
，
∴C（0，0）或（
3+
17
2
，2）或（
3-
17
2
，2），
綜合上述：存在，點C的坐標是（1，-2）或（2+
7
，5+
7
）或（2-
7
，5-
7
）或（0，0）或（
3+
17
2
，2）或（
3-
17
2
，2）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，隧道的截面由拋物線AED和矩形ABCD構成，矩形的長BC為8m，寬AB為2m，以BC所在的直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．y軸是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標原點O的距離為6m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如果該隧道內(nèi)設雙行道，現(xiàn)有一輛貨運卡車高4.2m，寬2.4米，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結論．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線m的解析式為y=x2-4，與x軸交于A、C兩點，B是拋物線m上的動點（B不與A、C重合），且B在x軸的下方，拋物線n與拋物線m關于x軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個頂點為D．
（1）求證：點D一定在拋物線n上．
（2）平行四邊形ABCD能否為矩形？若能為矩形，求出這些矩形公共部分的面積（若只有一個矩形符合條件，則求此矩形的面積）；若不能為矩形，請說明理由．
（3）若（2）中過A、B、C、D的圓交y軸于E、F，而P是弧CF上一動點（不包括C、F兩點），連接AP交y軸于N，連接EP交x軸于M．當P在運動時，四邊形AEMN的面積是否改變？若不變，則求其面積；若變化，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y=a（x+6）2-3與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于C，D為拋物線的頂點，直線DE⊥x軸，垂足為E，AE2=3DE．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）P為直線DE上的一動點，以PC為斜邊構造直角三角形，使直角頂點落在x軸上．若在x軸上的直角頂點只有一個時，求點P的坐標；
（3）M為拋物線上的一動點，過M作直線MN⊥DM，交直線DE于N，當M點在拋物線的第二象限的部分上運動時，是否存在使點E三等分線段DN的情況？若存在，請求出所有符合條件的M的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：二次函數(shù)y=a（x-1）2+4的圖象如圖所示，拋物線交y軸于點C，交x軸于A、B兩點，用A點坐標為（-1，0）．
（1）求a的值及點B的坐標．
（2）連接AC、BC，E是線段OC上的動點（不與O、C兩點重合），過E點作直線PE⊥y軸交線段AC于點P，交線段BC于點Q．求證：
CE
CO
=
PQ
AB
．
（3）設E點的坐標為（0，n），在線段AB上是否存在一點R，使得以P、Q、R為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出n的值，并畫出相應的示意圖；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知A，A是拋物線y=
1
2
x2上兩點，A1B1，A3B3分別垂直于x軸，垂足分別為B1，B3，點C是線段A1A3的中點，過點C作CB2垂直于x軸，垂足為B2，CB2交拋物線于點A2．

（1）如圖1，已知A1，A3兩點的橫坐標依次為1，3，求線段CA2的長；
（2）如圖2，若將拋物線y=
1
2
x2改為拋物線y=
1
2
x2-x+1，且A1，A2，A3三點的橫坐標為連續(xù)的整數(shù)，其他條件不變，求線段CA2的長；
（3）若將拋物線y=
1
2
x2改為拋物線y=ax2+bx+c（a＞0），A1，A2，A3三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，試猜想線段CA2的長（用a，b，c表示，并直接寫出答案）．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知拋物線y1=-2x2+2，直線y2=2x+2，當x任取一值時，x對應的函數(shù)值分別為y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的較小值記為M；若y1=y2，記M=y1=y2．例如：當x=1時，y1=0，y2=4，y1＜y2，此時M=0．那么使得M=1的x值為______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖所示是二次函數(shù)y=-
1
2
x2+2的圖象在x軸上方的一部分，對于這段圖象與x軸所圍成的陰影部分的面積，你認為可能的值是（　�。�
A．4B．
16
3
C．2πD．8

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當?shù)募舨�，折成一個長方形盒子（紙板的厚度忽略不計）．
（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方形盒子．
①要使折成的長方形盒子的底面積為484cm2，那么剪掉的正方形的邊長為多少？
②折成的長方形盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．
（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個有蓋的長方形盒子，若折成的一個長方形盒子的表面積為550cm2，求此時長方形盒子的長、寬、高（只需求出符合要求的一種情況）．

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