Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E在BC邊上，且BE：EC＝1：3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止．過點(diǎn)E作EF⊥PE交邊AD或CD于點(diǎn)F，設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長為__________．

Answer 1

【答案】9.

【解析】

過點(diǎn)M作GH⊥AD，證明△EGM≌△FHM，得到MG=MH，從而可知：點(diǎn)M的軌跡是一條平行于BC的線段，然后證明△EF1A∽△∠EF1F2，求得F1F2=18，最后根據(jù)三角形中位線定理可求得答案．

解：∵AD∥CB，GH⊥AD，
∴GH⊥BC．
在△EGM和△FHM中，

∴△EGM≌△FHM．
∴MG=MH．
∴點(diǎn)M的軌跡是一條平行于BC的線段．
當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，AF1=BE=2，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠F2+∠EAF1=90°，∠AEF1+∠EAF1=90°，
∴∠F2=∠AEF1．
∵∠EF1A=∠EF1F2，
∴△EF1A∽△∠F2F1E．

∴，

∴，

∴=18，

∵M1M2是△EF1F2的中位線，
∴M1M2=F1F2=9．
故答案為：9．